円板の並進運動問題について

質問

添付の図のような、直径4mの円板が、毎秒0.5回転の割合で、水平面を滑ることなく転がっている。図の瞬間における点Aの速度の大きさはおよそいくらか。

1. 5.4 m/s
2. 6.3 m/s
3. 7.1m/s
4. 8.0m/s
5. 8.9m/s

解答を教えてください。よろしくお願いします。

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回答No.1

Quarks · ベストアンサー

相対速度、合成速度の考え方を、フルに利用します。

球と床との接点をＢとしておきます。
まず、ＯからみたＡ，Ｂの運動を考えてみましょう。
Ａ，Ｂは、球の中心Ｏからみると、おなじ速さ（向きは違います）で、回転しているように、見えます。
回転数が　0.5[回/s]なので、Ａ，Ｂの、Ｏに対する回転の角速度ωは
　ω＝0.5・2π[rad/s]
です。これをつかうと、Ｏに対する、Ａ，Ｂの速さｖは
　ｖ＝4・ω＝4・π[m/s]
となっているはずです。
それぞれの点の、Ｏから見た速度の向きはどうでしょうか。
これは単純で、Ａ点は真下向き、Ｂ点は水平方向左向きです。
（ここまでのまとめ）
Ｏから見たとき、
Ａ点は、４・π[m/s]で、真下向きに動いているように見える。
Ｂ点は、４・π[m/s]で、水平方向左向きに動いているように見える。

さて、ここで、視点を、外部で静止している観測者の立場に、変えてみます。そして、Ｂ点に着目します。

Ｂ点は、床との接点で、球は床に対して滑らないという条件ですから、Ｂは、床の点と見ることもできます。つまり、Ｏから見ると、床の1点Ｂが、速さ　ｖ　で、水平方向左に向かって動くように見えると、いうことです。逆に言えば、床から見たら、球の中心は、速さ　ｖ　で、水平方向右へ動いているように見えるということです。
そして、Ａ点は、そのＯ点に対して、速さ　ｖ　で、真下向きに動いている。

床から見た、Ａ点の速度は、床に対するＯ点の速度＋Ｏ点に対するＡ点の速度、つまり、合成速度として、表現できます。
もちろん、２つの速度は、ベクトルですから、和は、ベクトルの和ということになります。