八つの整数を使った問題

質問

以下の異なる八つの整数をそれぞれ1回ずつ使って，図（添付画像）のように縦横の合計がすべて同じようになるようにするには，どの数字をどこに配置したらよいかという問題です。

－６，－４，－３，－１，１，２，３，５

この問題は中1の生徒の「数学パズル」というテキストに出ていたのですが中学で習う数学の内容で解けるものなのでしょうか？正解，あるいは解法をご教授いただければ幸いです。

回答No.2

noname#166245 · ベストアンサー

ヤマカンがだいぶ入ってしまうので、これで許してもらえるか不安ですが（笑）
説明してみます。

注目したのは偶奇性です。（かな～り試行錯誤したあとですけど＾＾）
偶数の和は偶数、奇数の和も偶数、奇数と偶数の和だけが奇数、ですね。

説明の都合上、場所を左上から下にA、B、C、真ん中上をD、真ん中下をE、
右の列を上から順にF、G、Hとします。

いま数字を見てみると、偶数が（負の数を含め）３つしかないので、
この３つがどう入るかを考えます。

ここから場合分けをしました。

まず、偶数３つ、－６・－４・＋２　が一列に入ることがあるか、です。
（まあ、足したら－８とちょっとマイナスが大きすぎて絶望的ですが＾＾）
仮に、左の縦の列（ABC）に３つを入れたとします。
偶数３つを足すと偶数ですので、この左の列の合計は偶数だということです。
一方、これら３つが入らない右の列を足すと奇数＋奇数＋奇数＝奇数に
なってしまいます。
このことから、左の列の和と右の列の和が一致することがないことがわかります。
偶数と奇数が一致することはないからです。
つまり、偶数が一列に並ぶことは（どういう順番であれ）ないということです。

次は一列に２つが入る場合を考えます。
図の対称性から左の縦の列に２つある場合だけ考えます。
AかCには偶数が必ず入るのですが、対称性からAには入る場合だけを考えます。

ここでまた２つに分かれます。
「AとCが偶数である場合」と、「AとBが偶数である場合」の２つです。
この場合、どちらにせよ、ABCの和は奇数になります。

まず、「AとCが偶数である場合」を考えます。

このとき残り一つの偶数は右の縦列には入りません。
なぜなら入れてしまうと、偶数＋奇数＋奇数の偶数になってしまい、
左の列の和と右の列の和が一致しなくなってしまいます。
なので残りひとつの偶数はDかEどちらかにしか入りません。

しかし、どちらかにしか入らないとなると、
A＋D＋F　と　C＋E＋H　どちらかが偶数でどちらかが奇数になってしまいます。

なので「AとCが偶数である場合」はありえないことが分かります。

次は「AとBが偶数である場合」です。
残りの偶数一つがどこに入るかを考えます。

この場合でも左列ABCの合計は奇数ですから、右の縦列FGHに残りの偶数は入りません。
右の縦列を足して偶数になってしまうからです。
なので、DかEなのですが、Eに入れてしまうと、C+E+Hが偶数になってしまいます。
Dに入れると、A+D+Fは偶＋偶＋奇で奇数、C+E+Hは奇数３つで奇数となり
偶奇性からは矛盾がなくなることが分かります。

ここまでをまとめますと、偶数は３つしかないという問題の条件で、
・一列に３つ偶数があることはありえない。
・一列に２つ偶数があることがあってもAとBとDの様に隣り合わせで
偶数が隅に固まる場合しかありえない。
・一列に１つしか偶数がない場合はまだ検討していない。←一応

ABDが偶数である場合を考え続けます。
－４と－６が一列ならぶでしょうか。

－４と－６を入れた段階で和が－１０と大きいので、
残りの数に５を入れたくなります。で、入れたとしても、和が－５。
で、入れてみた５に対して、どんな残りの２つを足しても
－５にはならないですからどうもこの場合はなさそうです。
（ヤマカンです）

で、A＝２として入れました。
で－６と－４を割り振り、残りの数を入れてみたのがNo1の回答です。
－６がある方には大きな数、－４がある方には小さな数（大きな数との
差が２のはずですね）を当てはめて試行錯誤するとすぐできるはずです。

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まだ検討していない「一列に１つしか偶数がない場合」にも解がありました。
つまり別解がひとつはあるということです。

あえて載せないほうがいいかなと思います。探してみてください。
（リクエストがあれば載せます）

１の回答と合わせ実質（対称性を考えて）この私が見つけた２つしかないか
どうかは多分にヤマカンが入っているので分かりません。

（しらみつぶしをするまでの興味がないです）

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もともとパズルなのですから、完全な解き方がなくてもよく、
楽しみながら、試行錯誤するのがいいと思うんですよね。個人的には。

中１ということなので、偶奇とか場合分けとかいう概念にどの位習熟されているか
分かりませんが、数字をカードにして、いろいろ並び替えさせて、
ヒントとして「足した時の偶数？奇数？に注目してみたら？」というだけでも
良いのではないかと思います。

いかがでしょうか。

お礼

喰わし解説をありがとうございました！別解，探してみます！

補足

（お礼，入力ミスがありました！）

詳しい解説をありがとうございました！別解，探してみます！

回答No.1

noname#166245

とりあえず、解きました。　
どう解いたかは別途説明します。
最初から最後まで論理で進めたわけではないです。

補足

早速ありがとうございます！解法，お知らせいただければうれしく思います！
<m(_ _)m>