高校数学の積分の問題です。分かる方教えて下さい。

質問

ｙ=logx ( e≦x≦e^2 )と直線y=1 , 直線y=2 , およびy軸で囲まれた部分をy軸の周りに1回転させてできる回転体の体積Vを求めよ。

回答No.2

WiredLogic · ベストアンサー

原理の説明は後回しにしますが、

その部分の面積ならば、∫[1,2]xdy

その部分をy軸の回りに１回転させて
できる回転体の体積なら、∫[1,2]πx^2 dy

のように、普通の面積・体積の求め方と、
x,yを逆にした積分で求めることができます。

なので、y=logx ⇔ x = e^y から、
V = ∫[1,2]πx^2 dy = π∫[1,2](e^y)^2 dy
のようにして、求めることができます。

原理の方ですが、区分求積法は、知ってますよね？

本当にこういう具合に書いたら、減点されてしまいますが、

y=f(x) (a≦x≦bで、y=f(x)≧0)という関数があって、
これとx軸、x=a、y=bで囲まれた面積Sを求めようと思えば、
これを、幅Δxの縦長の短冊に切り分けて、切り分けたそれぞれの
１枚を長方形とみると、縦は、y、横はΔx なので、面積はyΔx
これを合計するので、ΣyΔx、この合計は、面積Sに割と近い、
もっと近くしようと思うなら、切り分ける幅・Δxを小さくすればよい、
その極限・lim[Δx→0]ΣyΔx = Sになる。

この面積Sを広～い目で見ることにして、y=f(x)＜0の場合は、
面積がマイナスと考えることにして、その広～い意味の面積を
求めると考えると、結局、∫[a,b]ydx = lim[Δx→0]ΣyΔxになる。

微分のときも、平均変化率・Δy/Δx の極限、
lim[Δx→0]Δy/Δx = dy/dx とやったのに、
えらく近い雰囲気の式になっている、

それもそのはずで、ΔΣは、ギリシャ文字で、英語のアルファベット
で言えば、D,Sに相当し、difference(差), sum(和)を表している、
で、極限の方は、そのアルファベットの頭文字d と、
ただのSでは、面積のSなどと紛らわしいので、縦に長く引き伸ばした∫
を使って表しているだけ、ということで、∫ydx に、単なるオマケ
以上の存在として、dxが必要な意味は分かったと思いますが、

質問の関数で面積を求めるなら、縦でなく、横に切った方がいい、
勿論幅はΔyで、長方形の横は、xになるので、ΣxΔy→∫xdy
とやればいいことが解る、

この場合の回転体の体積なら、横に切り分けたとき、
断面は、半径xの円になるので、面積はπx^2、これに切り分けた幅
＝円柱の高さ・Δyをかけて、合計すると、Σπx^2Δx → ∫πx^2 dy
ということに、

お礼

すごく丁寧に教えて下さって本当にありがとうございました。
おかげで理解することが出来ました。

回答No.1

info22_

y=logx, x=e^y
V=π∫[1,2] x^2 dy=π∫[1,2] e^(2y) dy=π[(1/2)e^(2y)] [1,2]
=π(e^4 -e^2)/2

お礼

どうもありがとうございました。
途中経過の計算式も分かりやすく説明してあり助かりました。