数学の積分の問題を詳しく教えてください。

質問

数学の積分の問題です。どうしても分からないところがあるため、解説をお願いします。

問題：関数y=f(x)がf'(x)=-sinx, f(0)=2, f(π)=0を満足するとき、次の問いに答えよ。

(1)　f(x)を求めよ。

(2)　0≦x≦πの範囲でx軸と曲線y=f(x)にはさまれる部分の面積Sを求めよ。

(3)　(2)の図形をx軸、y軸のまわりに回転してできる立体の体積をそれぞれV1,V2とするとき、V1およびV2を求めよ。

(1)、(2)、(3)のV1を求めるところまでははなんとか分かったのですが、(3)のV2を求めることがどうしてもわかりません。

解答のみ分かっています。
(1)f(x)=cosx＋1
(2)π
(3)V1=3/2*π^2, V2=π^3-4*π

詳しい解説を頂きたいです。よろしくお願いいたします。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

x=arccos(y-1)
だから、
V2=π∫[0→2](arccos(y-1))^2dy=π∫[-1→1](arccosy)^2dy
y=cost とおくと dy=-sintdt
π∫[-1→1](arccosy)^2dy=π∫[π→0]t^2(-sint)dt=π∫[0→π]t^2sintdt
部分積分法より、
∫t^2sintdt=2∫tcostdt-t^2cost
=2(tsint-∫sintdt)-t^2cost
=2tsint+2cost-t^2cost
だから、
V2=π∫[0→π]t^2sintdt
=π[2tsint+2cost-t^2cost][0→π]
=π^3-4π

お礼

非常に参考になりました。
ご丁寧にご説明いただきありがとうございました。