数学の問題がわかりません。

質問

数学の問題がわかりません。
お願いします。
2つの関数、(1)y=-x^2+2、(2)y=xのグラフで囲まれる部分をx軸の周りに回転して、できる回転体の体積を求めなさい。

回答No.2

kiha181-tubasa · ベストアンサー

少しばかり面倒な問題です。「回転半径」や「くりぬき」の都合で４つの部分に分けて計算することになります。
まず，２つのグラフの項点の座標は (-2,-2),(1,1)です。
さらに(1)のグラフとx軸との交点の座標は(-√2,0),(√2,0)。

(A)0<=x<=1の部分は放物線の回転体から直線の回転体をくり抜く
π∫[0→1](-x^2+2)^2dx-π∫[0→1]x^2dx=π∫[0→1]{-x^2+2)^2-x^2}dxで求まります。
（注意：２乗してから引きます。これで体積の差（くり抜き）ができます。引いてから２乗すると平行移動して（潰して）から回転していることになりますのでくり抜きとは異なります）

つぎに回転半径が変わる部分です。
(B)-1<=x<=0：放物線のほうが大きい
(C)-√2<=x<=-1：直線のほうが大きい
(D)-2<=x<=-√2：直線の回転体から放物線の回転体をくり抜く
この３つの部分について体積を求めることになります。

(B)について
π∫[-1→0](-x^2+2)^2dx
(C)について
π∫[-√2→-1]x^2dx
(D)について
π∫[-2→-√2]{x^2-(-x^2+2)^2}dx

求める体積は(A)(B)(C)(D)の部分の体積の和になりますから
π∫[0→1]{-x^2+2)^2-x^2}dx+π∫[-1→0](-x^2+2)^2dx+π∫[-√2→-1]x^2dx+π∫[-2→-√2]{x^2-(-x^2+2)^2}dx
で求められます。
計算は省きます。

お礼

ありがとうございます。
わかりやすかったです！

回答No.1

asuncion

放物線と直線の交点を求める。
-x^2 + 2 = x, x^2 + x - 2 = 0, (x + 2)(x - 1) = 0, x = -2, 1
[-2, 1]では放物線が直線より上にあるから、求める体積は
π∫[-2～1](-x^2 + 2 - x)^2dx
= π∫[-2～1](x^4 + 4 + x^2 - 4x^2 - 4x + 2x^3)dx
= π(x^5/5 + x^4/2 - x^3 - 2x^2 + 4x)[-2～1]
= π((1/5 + 1/2 - 1 - 2 + 4) - (-32/5 + 8 + 8 - 8 - 8))
= π(17/10 + 64/10)
= 81π/10