高校の数学の回転体の問題です

質問

0<θ<π/2とする時、円x^2+(y-2sinθ)^2=1をx軸のまわりに回転させた回転体の体積を求めよ

円の上側の部分をx軸のまわりに1回転した回転体は、最大直径が2sinθ+1で
厚さが2の円盤であり、その体積がπ∫[-1→1]{√(1-x^2)+2sinθ}^2dx、

円の下側の部分をx軸のまわりに1回転した回転体は、最小直径が2sinθ-1で
厚さが2の円盤になり、その体積がπ∫[-1→1]{-√(1-x^2)+2sinθ}^2dx。
大きい円盤から小さい円盤を切り取った残りが円をx軸のまわりに1回転した
回転体であるとあるのですが、

上側をx軸に回りに回すと半径2sinθの円板になりませんか？

下側が半径2sinθ+1の円板だと思うのですが、中心からx軸までの距離が上側で2sinθ,下側で2sinθ+1ですから

回答No.1

SKJAXN · ベストアンサー

円盤に細分化した議論もありますが、そもそもの回転体の体積を算出するオーソドックスな解法に戻り、
まず円の上側の部分をx軸の周りに回転した体積をV1とすると、
V1＝π∫[－1→1]{√(1－x^2)＋2*sinθ}^2dx　→　OK
これだけですと、余計な回転体の体積を計算してしまっているため、
(ア) π/6＜θ＜π/2のとき
　円の下側はx軸と交差しないため、下側の部分をx軸の周りに回転した体積をV2とすると、
　V2＝π∫[－1→1]{－√(1－x^2)＋2*sinθ}^2dx
　であり、これが余計なため、求める体積はV1－V2
(イ) 0＜θ≦π/6のとき
　円の下側はx軸と交差するため、x軸との交点を計算するとx＝±√(1－4*(sinθ)^2)より、
　下側の部分のx＝－1→－√(1－4*(sinθ)^2)の区間をx軸の周りに回転した体積をV3とすると、
　V3＝π∫[－1→－√(1－4*(sinθ)^2)]{－√(1－x^2)＋2*sinθ}^2dx、および
　下側の部分のx＝√(1－4*(sinθ)^2)→1の区間をx軸の周りに回転した体積をV4とすると、
　V4＝π∫[√(1－4*(sinθ)^2)→1]{－√(1－x^2)＋2*sinθ}^2dx
　であり、V3＋V4が余計なため、求める体積はV1－(V3＋V4)
という議論で決着がつきませんでしょうか。

お礼

分かりまし、たありがとうございました