【大至急】数学の濃度について

質問

数学の濃度についてお聞きしたいことがあります。

Aの濃度がアレフであることを示せ、という問題があります。

この問題の解法として、
ｆ：A→R
g：A→（０，１）
もしくは
ｆ：N→A
いずれかの全単射写像を構成すればよい、
というふうに言われたのですが、その意味がよくわかりません。

濃度がアレフであるということを示すということはどういうことで、上の解法だとどうして示せるのでしょうか？
また、全単射写像はどのように構成するのでしょうか？

基本的なことかもしれませんが、よろしくお願いします。

回答No.4

funoe

＞濃度がアレフであるということ

きっと、教科書に、「実数全体の集合Ｒの濃度がアレフ」って書いてあると思う。必ず見つけてほしい。
その前後に「自然数全体の集合Ｎの濃度はアレフゼロ」って書いてあると思う。それも見つけたうえで暗記するのが必要。

ある集合Ａの濃度が＊＊であることを示すには、濃度が＊＊であることが分かっている集合Ｂとの全単射があることを示す。
というか、それが「濃度が等しいことの定義」になっている。

というわけで、実数全体（Ｒ）の濃度はアレフってのは既知なので、出題の集合Ａと実数全体の集合Ｒとの全単射が存在することを
示せば、Ａの濃度はアレフであることを示せる。
具体的にＡがどのように与えられているかはわからないので、「具体的な全単射の作り方」を聞かれても誰も答えられない。

ちなみに、教科書の上記のことが書いてある次のページ位の演習問題に、実数の区間（0、１）の濃度がアレフであることを示せ、
っていう問題が載っているんじゃないかな？
きっと、その演習問題の前後にベルンシュタインの定理って便利な定理が証明されているので、その定理を使えばこの演習問題は容易に解決。

とうわけで、実数の区間（０，１）＝｛ｘ；ｘ∈Ｒ、０＜ｘ＜１｝の濃度ってのもアレフだってのは既知として良い。
つまり、区間（０，１）との全単射がある集合の濃度はアレフ。

質問の最後に記載の
＞ｆ：N→A　の全単射写像を構成すればよい
は、なにかの間違いかと思われる。

回答No.3

hashioogi

質問内容と質問者の数学的なレベルに乖離があるようですが、
全単射写像というのは集合Xと集合Yの要素が１：１で対応する写像です。例えば、男性3人の集合と女性3人の集合を考えて、それぞれの集合のメンバーに1人ずつ握手させると握手できないメンバーが発生しませんから、全単射写像になる訳です。
アレフゼロというのは自然数全体の集合の濃度で、アレフというのは実数全体の濃度です。
今、あなたが考えている集合Aの各要素を実数の全ての要素と１：１に対応させることができたら集合Aの濃度はアレフということになります。対応のさせ方は本に色々書いてありますから自分で勉強してください。

回答No.2

ORUKA1951

問題の全文、およびその前に書かれている一連の議論を書かないと答えようがない。
数学は何処まで行っても・・国語の問題。・・・基本ですが

回答No.1

noname#199771

A,R,Nという記号が何なのかが書かれていない
ので何を言っているのかわかりません。

それと、ここでいう「アレフ」の定義は何でしょう？