f:X→Y, g:Y→Xを集合Xと集合Yの間の写像

質問

f:X→Y, g:Y→Xを集合Xと集合Yの間の写像とし、g⚪︎f:X→X、f⚪︎g:Y→Yをそれらの写像の合成写像とする。次の記述1から5について、
1：gが全射ならば、g⚪︎fは全射である。
2：g⚪︎fが全射ならば、fは全射である。
3：g⚪︎fが単射ならば、gは単射である。
4：Yが有限集合で、g⚪︎fとf⚪︎gが全射ならば、fは全単射である。
5：f⚪︎gが全単射ならば、g⚪︎fは全単射である。
常に正しいのは4であるそうですが、その理由がわかりません。どなたか教えて下さいませんか。

回答No.3

ddtddtddt · ベストアンサー

#2です。

　まずご存じかも知れませんが、写像についてです。写像のイメージとしては関数で十分です。関数というとy＝ax＋bとかy＝x^2などを思い浮かべると思います。で数学は、何でも一般化したがります。関数y＝f(x)がy＝ax＋bやy＝x^2のように数式で与えられる場合は、関数を計算するのもグラフを書くのも苦労しませんが、「じゃあ、数式で与えられない関数はどうするんだい？」という問題があります。例えばフリーハンドで描いた曲線を、ある関数のグラフとみなした場合、一般にその曲線はどんな数式にものらないでしょう。そこで、関数が数式で与えられた時には何故グラフが描けるのかを反省します。けっきょくグラフの曲線を構成する各点(x，f(x))が、計算可能だからですよね？。
　という事は「どうやってf(x)を算定したか？」を問わなければ、xに対応するf(x)の値が全部わかっているものとした時、関数がわかってるのと同じです。何故ならグラフを描けるから。グラフを構成する点(x，f(x))を、(x，y)座標にプロットできるから。ただしxとy＝f(x)の対応には、一つだけ制限を付けます。
　「xの値に依存して決まるyの値は、xの値を決めればyの値も一個だけ」という制限です。xの値を（一個）決めたのに、対応するyの値が複数個あったら、そのグラフは曲線ではなく「帯」になるからです。つまり一般化された関数（写像）の定義とは、あくまで曲線ベースなんですよ。以下は写像の、かなり簡略化した定義です。でも本質はこれに尽きていると思います。

　　ＸとＹを集合とする。各x∈Xに対し、y∈Ｙが（xに依存して）一個だけ定まる時（定まる方法は問わない）、この対応fを写像と言う．　　(1)

　(1)はよく、f：Ｘ→Ｙと書かれます。注意点は、各xに対して（xに依存して）yは一個だけですからね。全てのxに対してyは一個だけしか決まらないのとは、違います。そういう場合も写像（関数）ですが、それが定値写像（定数関数）です。自分はこの違いがわからず悩みまくった、おバカでした(^^;)。
　関数という用語はＸもＹも数値の集合、例えば実数全体の集合をRとしてＸ＝Ｙ＝Rなどの時のためにとっておかれます。関数y＝ax＋bは、f：R→Rです。

　次に単射，全射ですが、写像の中で特に取り扱いの容易なケースがあります。その一つが1対1対応の写像です。写像の定義(1)は、1対1対応ではないんですよ。
　(1)の言ってる事は、xを一個決めたらyは一個に決まると言ってるだけで、別のx'で同じyが対応したってx'と一個決めたら、たまたま同じyが一個に決まっただけなので、それは写像なんです。例えばy＝x^2ではy＝1に対応するxはx＝±1ですが、x＝1のとき対応するyは1しかないし、x＝－1のときも対応するyは1しかなくて一個だけです。こうなるのは、グラフが帯にならないからです。
　でも同じyが複数のxに対応しない方が扱いやすいんですよね。そういう関数の代表がy＝ax＋bです。ちょっと考えればわかるように実数関数の場合、1対1対応の写像は単調増加か単調減少です。そういう場合を単射と言います。単射と言いたがるのは、1対1対応と喋るよりも、用語が短くて言いやすい程度の理由しかありません(^^)。

　一般的にいって、もう一つの扱いやすいケースが上への写像です。ここで喋りやすくなるために、用語を二つ導入します。関数f：Ｘ→Ｙの定義域の中の1点集合{x}⊂Ｘを考えます（Ｘの部分集合）。xはf(x)に写像しますが、Ｙの部分集合{f(x)}⊂Ｙの事も、f(x)と書くならわしがあり、これをfによるxの像と呼びます。
　でも定義域の中の1点集合の像を考えても、あまり役に立ちません。有用なのは定義域Ｘ全体の像です。それをf(Ｘ)と書きます。一般にf(Ｘ)⊂Ｙなのは明らかでしょう。f(Ｘ)＝Ｙの時が上への写像という奴で、これを全射と呼びます。
　y＝x^2は、必ずy≧0なのでf(R)≠Rとなり全射ではありません。一方y＝ax＋bではf(R)＝Rとなる事が、グラフを描けば一目瞭然です。従ってy＝ax＋bは全射です。

　もう一つの用語は逆像です。今度は、関数f：Ｘ→ＹのＸの像の中の1点集合{y}⊂f(Ｘ)⊂Ｙを考えます。これはyがf(X)の要素という事なので、yに写像してくるＸの要素xが必ずあります（一つとは限らない）。そのようなxを集めたＸの部分集合をf^-1(y)と書くならわしがあります。f^-1(y)はfの逆関数を表すのではなく、あくまでＸの部分集合です。これをfによるyの逆像と呼びます。まぁ～、fが逆写像（逆関数）を持つ場合もそのまま流用できるような記号を使ってるわけですが(^^)。
　逆像の場合、値域Ｙ全体の逆像を考えてもあまり役に立ちません。f^-1(Ｙ)＝Ｘなのは明らかだからです。ただしf(X)に含まれないyについてはf^-1(y)＝φ（空集合）と決めておきます。逆像で有用なのは、f(X)の中の1点集合{y}の逆像f^-1(y)です。fが単射なら1対1対応なのでf^-1(y)＝{x}、すなわち1点の逆像も1点集合が成り立ち、これを単射の定義に出来ます。

　ところでy＝ax＋bは単射かつ全射でした。これを全単射と呼び、この場合は逆写像（逆関数）を定義できます。

　残るは写像の合成ですね。写像f：Ｘ→Ｙとg：Ｙ→Ｚがあったとします。fによるＸの像f(Ｘ)はＹの部分集合で、Ｙはgの定義域でもあります。という事は、gをf(Ｘ)だけで考えた写像もまた可能です。fとこのgの親戚をつなげた写像を、g〇f：Ｘ→Ｙ→Ｚと書き、写像fとgの合成と呼びます。当然ですが、z＝g(f(x))です。

　以上、写像一般の話としてはこれくらいの事しかありません。というか、これくらいの事しか使わないんですよ。いずれも落ち着いて考えれば「当然じゃん！」と思えるもののはずです(^^;)。問題を一度落ち着いて眺めてみて腑に落ちなければ、またご質問をどうぞ(^^)。

お礼

懇切丁寧な解説に感謝申し上げます。とても分かりやすかったです。

回答No.2

ddtddtddt

まず写像の合成、写像の全射，単射，全単射はOKですか？。

補足

お恥ずかしいですが、自分なりに調べてみてもイマイチ意味が理解できないです。そこも含めて教えて下さいませんか。よろしくお願いします

回答No.1

tmppassenger

どこまで考えて、何が分からないのか、詳細を書いてください。

補足

大変恐縮ですが、最初から理解できません。教えて下さいませんか。よろしくお願いします。