集合の問題なんですが

質問

解説がないので詳しく説明お願いします

1.f:N→Nodd,f(n)=2n-1の逆写像を求め、fが全単射であることを示せ。

2.写像h:N→Z,h(2h-1)=1-n,h(2n)=nと定める。
このhを利用して、NとZの濃度が等しいことを示せ。

よろしくお願いします。。

回答No.1

muturajcp

Nを全自然数の集合とする
Noddを全自然数の中の全奇数の集合とする
1.
f:N→Nodd,n∈N→f(n)=2n-1
とすると
n={f(n)+1}/2だから
g:Nodd→N,m∈Nodd→g(m)=(m+1)/2
とすれば
g(f(n))=n
f(g(m))=m
だから
g:Nodd→N,m∈Nodd→g(m)=(m+1)/2
はfの逆写像となる
{n,m}⊂N
f(n)=f(m)
とすると
n=g(f(n))=g(f(m))=m
だから
fは単射
m∈Noddに対して
n=g(m)となるnがあり
f(n)=f(g(m))=m
だから
fは全射
だから
fは全単射

2.
h:N→Z,h(2n-1)=1-n,h(2n)=nと定める
{n,m}⊂N
h(n)=h(m)
とすると
n=2k-1,kが自然数の時
h(n)=h(2k-1)=1-k≦0
m=2j,jが自然数と仮定すると
h(m)=h(2j)=j≧1>0≧h(n)
となってh(n)=h(m)に矛盾するから
m=2j-1,jは自然数となるから
1-k=h(2k-1)=h(n)=h(m)=h(2j-1)=1-j
k=j
n=2k-1=2j-1=m
となる
n=2k,kが自然数の時
h(n)=h(2k)=k≧1
m=2j-1が自然数と仮定すると
h(m)=h(2j-1)=1-j≦0<1≦h(n)
となってh(n)=h(m)に矛盾するから
m=2j,jは自然数となるから
k=h(2k)=h(n)=h(m)=h(2j)=j
n=2k=2j=m
だから
n=m
だから
hは単射
任意の
m∈Zに対して
m≧1のときn=2m
とすると
h(n)=h(2m)=m
m≦0のときn=1-2m
とすると
h(n)=h(1-2m)=h(2(1-m)-1)=1-(1-m)=m
だから
hは全射
だから
hは全単射
だから
NとZの濃度が等しい