濃度のべきについて

質問

濃度のべきについての証明で、わからないことがあるので、教えてください。

0でない任意の濃度p,m,nについて (p^m)^n=p^(mn) が成り立つ。
[証] F(X,Y) をXからYへの写像全体の集合とする。このとき、
F(A×B,C)とF(B,F(A,C))の濃度が等しいことを示す。
fをF(A×B,C)の任意の元とする。Bの元yを一つ固定して、Aの各元xにf(x,y)を対応させる写像をf_yとすると、f_y∊F(A,C)。次にBの各元yに対して、上のように定まるf_yを対応させる写像をf~とかくと、f~∊F(B,F(A,C))。
これらより、任意の(x,y)∊A×Bに対して、f(x,y)=(f~(y))(x)である。
以上のようなF(A×B,C)の各元fからF(B,F(A,C))の元f~を対応させる対応は全単射であるので、F(A×B,C)～F(B,F(A,C))。

とあるのですが、最後の「全単射である」のをどのように示したらよいのかわかりません。
f_yやf~に関しては理解できますが、「f(x,y)=(f~(y))(x)」この関係式からしっかりと理解してないのが原因だと思います。
証明や具体的なアドバイスをいただけると幸いです。よろしくお願いします。

回答No.3

NoSleeves · ベストアンサー

ANo.2 のお礼に書かれている内容は, 何を言いたいのか, 質問者様ご本人も理解できていないと思います.

最初の質問文に戻り,

＞以上のようなF(A×B,C)の各元fからF(B,F(A,C))の元f~を対応させる対応
この写像を h とします.
h : F(A×B, C) → F(B, F(A, C))

h が単射であることの証明は, F(A×B, C) の任意の元 f, g に対して,
h(f) = h(g) ならば f = g
を示すのが定番になっていますが, その方法でイメージできないのであれば,
f ≠ g ならば h(f) ≠ h(g)
を示すという, 滅多に使わない方法を試してみてはいかがでしょうか.
f ≠ g ならば, f(x, y) ≠ g(x, y) となる (x, y) ∈ A×B が存在します.
これを足掛かりに, まず f_y ≠ g_y が得られ, それにより f~ = h(f) ≠ h(g) = g~ が得られます.

全射であることの証明.
F(B, F(A, C)) の任意の元 f~ に対して, A×B から C への写像を f を,
f(x, y) = (f~(y))(x)　((x, y) ∈ A×B)
と定義すれば, h(f) = f~ となりますから, h は全射です.
「f~ は B から F(A, C) への写像で, f~(y) は A から C への写像」ということを, 意識してください.
f に関しては「存在」だけでなく, その作り方から「一意性」も明らかなので, h が単射であることも（副産物として）示されたことになります.

お礼

なるほど、なんとなくイメージすることができてきました。

何回も質問に答えていただいてありがとうございました。

回答No.2

NoSleeves

2つの写像が等しいことの定義を, 思い出してください.
単射であることも, また, 全射であることも, かなり明らかです.

お礼

二つの写像f,g:X→Yに対して、Xの任意の元xについてf(x)=g(x)が成立する。が写像が等しい定義だと思います。

任意のx,yに対して、(f~(y))(x)=(f'~(y))(x)を仮定する。
写像の定義から（左辺）＝f(x,y) （右辺）＝f'(x,y) となるので、f(x,y)=f'(x,y)。すなわち単射。…こんな感じでしょうか？
全射であることは、どのように示したらいいのかわかりません。
任意の(f~(y))(x)に対してf(x,y)が存在する根拠がよくわかりません。
よろしくお願いします

回答No.1

Tacosan

「全射」かつ「単射」って示せばいい. どっちかは簡単なはず.

お礼

そうなのですが、全射・単射もうまく示すことができないのです。
単射については、F(B,F(A,C))の任意の2元f~、f'~について、「f~=f'~ならばf=f'」を示せばよいと思ったのですが、このf=f'の関係式が何なのか掴めず、止まっている状態です。
また全射についても、F(B,F(A,C))の任意の元f~に対して、fが存在するということを言えればよいのですが、証明をどう書けばいいのかわかりません。
もう少しアドバイスをいただけると幸いです。