写像に関する問題

質問

f : A→Bを集合間の写像とし、g : 2^B→2^Aを
　　g(X)=f^-1(X)
とする。ただし、Bの部分集合Xに対して、
f^-1(X)は、f : A→Bに関するXの逆像
　　f^-1(X)={a∈A|f(a)∈X}
で定義されるAの部分集合とし、集合Aに対して、
2^AはAの部分集合全体とする。
（１）fが全写なら、gは単写
（２）fが単写なら、gは全写
であることを示せという問題ですが、

（１）　
　X1≠X2のとき、g(X1)≠g(X2)となることを示す。
X1,X2∈2^Bとし、X1≠X2とする。また、x1,x2∈Aとすれば、fは全写であるので、f(x1),f(x2)∈B。ここで、f(x1)∈X1,f(x2)∈X2とすれば、
ここで、X1≠X2より、x1≠x2。従って、g(X1)≠g(X2)となり、gは単写。
（２）
　任意のX1をとったとき、g(X1)∈Aとなることを示す。
fは単写より、f^-1(x1)∈Aとなるような元x1∈X1が存在する
（ただし、X1⊂B）。従って、写像gの定義より、
常にg(X1)∈Aとなるような元g(X1)が存在する。従って、gは全写。

上記のように考えたのですが、この考え方であっているのでしょうか？
お手数ですが、どなたかご指南いただけないでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.1

Tacosan

う～ん, いろいろ怪しいところが....
(1) からいくと, まず「fは全写であるので、f(x1),f(x2)∈B」が (表現として) おかしい. f が全写であろうとなかろうと, 「存在すれば」その値は B に属する. つまりここでの「fは全写である」は無意味だし, 「また～f(x1),f(x2)∈B」という 1文が (自明なので) 不要.
その後で「ここで」が 2つつながるのも読みにくい. さらに言えば「X1≠X2」から「x1≠x2」は導けません. x1=x2 でも, f(x1) ∈ X1∩X2 だったらこの文章の「とすれば」まで成り立ちます. ここは「X1 に属していて X2 に属さない B の要素 y」が (一般性を失うことなく) 存在することを書いた上でこの y に対して議論するのが正しい. この y を f の値とする A の要素は (f が全写という条件から) 存在し, それは g^-1(X2) には属さない.
(2) は 0点だな.
最初の「g(X1)∈A」からおかしい. ここは「部分集合である」と書くべきだが, 実際には定義から「g(X1) が A の部分集合である」ことは自明. さらに, その後の「fは単写より、f^-1(x1)∈Aとなるような元x1∈X1が存在する（ただし、X1⊂B）」に至っては成り立たない可能性すらある (f が全写ではないという可能性を念頭に置くこと). ということで論旨全体がグダグダ. ああ, 「f^-1(x1)」という表記も (引数が集合でない場合には) 未定義なので, その点もアウトかな.
ここは f が単写であることから「任意の b ∈ B に対して f(a) = b である a は唯一」であり, したがって「任意の X ⊂ A に対して (f(A) = {f(a)|a∈A} とおくと) g(f(A)) = A である」ことを示せば十分.

お礼

ご回答ありがとうございます。
詳細なご指摘をいただきまして、ありがとうございます。
今一度見直してみたいと思います。
どうもありがとうございました。