積分の質問です

質問

塾で、
∫(ax+b)^ndx = {1/a*(n+1)}(ax+b)^(n+1)+C
という式を習った記憶があるのですが、
これはC以外を[　]でくくると定積分でも使えますか？

というのも、
f(x)=2∫(3xt+1)^2dt-{∫(3xt+1)}^2-16xdt
（定積分の区間はは2と0です）
をxの整式として表せ。
という問題の左側の積分の方で使った所、
x^(-1)
を含む式が出てきてしまいました。普通に展開してから解くと、
f(x)=12x^2-16x
となります。

見にくい式ばかりで申し訳ないですが、どこが間違っているのか教えて頂けるとありがたいです。

回答No.3

debut · ベストアンサー

∫(3xt+1)^2dtにa=3x,n=2として適用すれば
1/(9x)[(3xt+1)^3]なので、0～2を計算すると
1/(9x){(6x+1)^3-1^3}=(216x^3+108x^2+18x)/(9x)
=24x^2+12x+2
{∫(3xt+1)dt}^2にa=3x,n=1として適用すれば
{1/(6x)[(3xt+1)^2]}^2なので、0～2を計算すると
[1/(6x){(6x+1)^2-1^2}]^2={(36x^2+12x)/(6x)}^2
=(6x+2)^2=36x^2+24x+4
よって、
与式＝2(24x^2+12x+2)-(36x^2+24x+4)-16x
　　＝12x^2-16x
となります。

お礼

ありがとうございます！！

t=0の時の値を0だと思いこんで引いてませんでした…。
５回ぐらい解き直していたのに…。
大変助かりました。

回答No.2

naozou

積分の計算が間違っていると思いますよ。
tに関する積分なので、xは定数(文字)として扱います。

お礼

xを定数とすることは何とか気づけたのですが、
自分の思いこみからの間違いでした。

ありがとうございました。

回答No.1

kaaaiii

基本的に定積分と不定積分の違いはCがあるかないかなので、
[]でくくれば定積分でも使えます。

で、その式ですが、　-16xdt　の部分がよく分かりません。
積分記号がかかってないので、ちょっと間違ってませんか？

お礼

ケアレスミスばかりで恥ずかしいですが、助かりました。
ありがとうございました。

補足

申し訳ありません。

最後のdtは∫(3xt+1)のdtで、正しくは
f(x)=2∫(3xt+1)^2dt-{∫(3xt+1)dt}^2-16x
です。
正しい式でやってもやはり
x^(-1)は残ってしまいます…。
引き続き、お願いいたします。