整式の割り算

質問

整式f（x）をx2－x＋1で割った余りがx＋1である。
このとき、f(ｘ)g（x）をx2－x＋1で割った余りが1となるような一次式g（x）を求めよ。

の解答が知りたいです。宜しくお願い致します。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

> 整式f（x）をx2－x＋1で割った余りがx＋1である。

これを式で書くと
f(x)=(x^2-x+1)Q+x+1
だから
g(x)=ax+b
とすれば
f(x)g(x)=(x^2-x+1)g(x)Q+(x+1)(ax+b)
f(x)g(x)=(x^2-x+1)g(x)Q+(ax^2+(a+b)x+b)
f(x)g(x)=(x^2-x+1)g(x)Q+a(x^2-x+1)+((2a+b)x-a+b)
f(x)g(x)=(x^2-x+1)(g(x)Q+a)+((2a+b)x-a+b)
となる。
これから
(2a+b)x-a+b=1
がどんなxについても成り立つから
2a+b=0
-a+b=1
がわかる。
以下省略

お礼

解答ありがとうございました。

高校のテストを引っ張り出しで解いていて

わからなかったので質問しました。

回答No.2

ereserve67

f(x)=(x^2-x+1)Q(x)+x+1（Q(x)は商）とおけるから，

(x^2-x+1)Q(x)g(x)+(x+1)g(x)

を(x^2-x+1)で割ったあまりは(x+1)g(x)を(x^2-x+1)で割ったあまりに等しい．したがって，

(x+1)g(x)=(x^2-x+1)q+1　（qは定数）

g(x)は一次式だからg(x)=qx+rとおけるから，

(x+1)(qx+r)=(x^2-x+1)q+1
qx^2+(q+r)x+r=qx^2-qx+q+1
(q+r)x+r=-qx+q+1

係数を比較して

q+r=-q,r=q+1∴q=-1/3,r=2/3

g(x)=-x/3+2/3