虚数単位iは数ではありませんね

質問

ｉは二乗すると－１になるので数の原型のような感じを持つのですが、ｉ自身は数でないようにも思えます。いずれにしても数学が分からないので不思議と思うだけです。またiを生み出すような数学的存在は存在しないのでしょうか。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>虚数単位iは数ではありませんね
複素数や虚数に属する数です。
実数という数には属しませんが…。

>ｉは二乗すると－１になるので数の原型のような感じを持つのですが、ｉ自身は数でないようにも思えます。

「ｉは二乗すると－１になる」…になるにではなく、これは虚数単位の定義です。
この虚数単位をつかって虚数や複素数が定義されます。

数学は定義を拡張し、さらにより広範囲は定義がされ、果てしなく拡張されて行ます。
拡張される度に新たな定義、公理、定理が作られて行ます。

>またiを生み出すような数学的存在は存在しないのでしょうか。
たぶん、２次方程式の解が常に２個存在するはずなのに、実数解が存在しない場合、実数ではない他の解、つまり虚数解（a±ib）を考えれば、２次方程式は常に解を２つ持つと言え、虚数単位iを定義することにより虚数解の表現もできるようになった訳です。
虚数単位が定義されると、そこから複素平面や複素数における新たな理論が展開され、新しい定義や公理や定理や公式が作られて行ます。

お礼

どうも定義の意味が理解できていないようです。もう少し勉強してみます。どうもありがとうございました。

回答No.5

hugen

http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~wakui/presentation7.html

お礼

ご教示に感謝いたします。

回答No.4

mide

数学カテなので，一般的な数学としては虚数単位 i はまぎれもなく数です。

しかし i を「存在しない」とか「数ではない」と思う人が多いのも確かです。というのは，数というものは

・身近な尺度で対応するものがある
・数直線上に位置する
・大小関係がある

といった性質をもつという意識があるためではないかと思います。 i はいきなり出てきたわけではなく

自然数 → 整数 → 有理数 → 実数 → 複素数

という，数の概念の拡張に伴って出現したもので，実数までの数が当たり前に持っていた上のような性質が成り立たないところまで拡張が及んだだけです。しかし科学のいろいろな分野で i はとても有用な存在で，慣れてしまえば数かそうでないかなどあまり考えなくてもよくなります。

自然数から整数への拡張も大きな跳躍で，0 が数かどうか真剣に議論されていた時期もありますし，無理数についてもそうです。そういう意味で虚数もひとつの拡張に過ぎませんし，数学にはもっと他の拡張もあります。

「iを生み出すような数学的存在」というのは意味がよく分かりませんが，0 や 1 にはそういったものがあるでしょうか。

複素数が割と把握しやすいのはガウス平面だと思います。数直線という，直感的で慣れ親しんだ尺度が二次元になり，実数軸と直交するのが虚数軸です。複素数のいろいろな式や性質が，ガウス平面上では視覚的に分かりやすくなることが多いです。

お礼

ガウス平面なども表面的な理解をしていたつもりですが、何か根本的に足りないことがあるのかもしれません。丁寧にご教示いただきありがとうございます。

回答No.3

alice_44

何を「数」と呼ぶか、だけの言葉の問題ですね。
虚数単位は、複素数の一つであり、実数ではありません。
貴方にとって、複素数も「数」の内であれば、
「i は数だ」ということになるし、
実数しか数だと思わないのであれば、
「i は数ではない」ことになる。
貴方の立場と気持ちで、答えは変わります。
数学には、「数」という言葉の標準的な定義は無いからです。
数学者の中にも、
ベクトルやテンソルも数だという人もいれば、
自然数だけしか数ではないという人もいます。
何が「数」か？ を議論することに意義を感じる
数学者が、あまりいないからでしょう。
おそらく、それは哲学または心理学の問題です。

お礼

言葉だけの問題ということで何となく安心しました。具体的な勉強をするように考えたいと思います。どうもありがとうございました。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

実数の演算規則に従わないから数ではないという考え方は、
実際に手にとって「数える」ことができない「負」という
概念を千年近く拒否し続けてきた学者の考えかたに通じるかもしれません。

貸し借りを正負で表すことで、人間は「数える」という概念を広げてきたわけですが、
複素数は、例えば交流理論などで位相と大きさを持つ量を表すのに便利に使えます。

数としての応用や具体量が存在すれば、それは
数と呼んでよいのではないでしょうか？

何を「数」と呼ぶべきかは哲学的な話ですが、数はいまではかなり自由な
概念だとおもいます。
＃ベクトルも行列もテンソルも４元数も数だと思います。

お礼

普段3以上は数えないような生活をしていることと関係があるのだろうと思いました。ご懇切に説明いただきありがとうございました。