二乗して虚数になる数

質問

虚数の計算をしていて疑問に思ったのですが、二乗して虚数になる数と言うのは存在しないのですか？

存在しないのだとしたら、何故存在しないのですか？

回答No.5

koinobori7 · ベストアンサー

質問の文章表現はあなたの気持ちを表していない
と考えました。
　たぶん、X＾２＝ー1　から　i
が出てくるのに
ｘ＾２＝i　から、複素数以外の新しい種類の数が出てこないのは
なぜか？　　と言う質問でしょう。
答えは、　複素数が代数閉体だから　です。
意味は、複素係数の方程式の答えは複素数である。　ということ
よって、新しい種類の数は代数方程式の解としては出てこない。

お礼

そうなんです。
x^2=i　のxは自分が全く知らない新しい数かと思っていました。
数学者が虚数を発見したときに数直線に縦軸を取り入れたように、今回もまた違う方向に伸びる軸があるのでは？　と思ったので。

質問文から読み取っていただいてありがとうございます。
自分でも良く調べて見ますね。

回答No.4

info22

他の方もいわれている通り、存在します。
いわゆる、二乗して純虚数
ki(kは実数,iは虚数単位）
となる複素数xは
x=a+bi
ただし、a,bを|a|=|b|を満たす実数。
となります。

たとえば
a=b=1なら, x=1+iで、x^2=(1+i)^2=1-1+2i=2iで純虚数
a=2,b=-2なら,x= 2-2iで、x^2=4(1-i)^2=4(1-1-2i)=-8iで純虚数
a=b=1/√2なら,x=(1+i)/√2で,x^2=(1+i)^2/2=(1-1+2i)/2=iで純虚数
となります。

お礼

a+bi、複素数ですか。
頭の中で理解が追いつかないみたいなので、info22さんのお答えをよく調べて見ます。

ありがとうございました。

回答No.3

phyonco

虚数は二乗して-1になる数なので、あなたの質問は、４乗して-1になる数が存在するか？という質問になりますね。もしそういう「数」Xがあったとしたら、それは、あなたの知っている「数」の範囲では、X＝a + ib と書けるはずではありませんか？aとbは普通の実数、iは二乗して-1になる虚数です。このXのような「数」のことを「複素数」と言います。問題の話に戻りましょう。問題は　X^4 = -1 （X^4はXの４乗のことです）となるようなXが存在するか？ですから
(a + ib)^4 = -1 となる実数aとbが存在するか？
になりますね？左辺の計算を、２乗を２回やって計算して下さい。その時i^2=-1を忘れないように。その結果は、iが掛かっている項とそうでない項に分けられるはずです。右辺は-1という実数なので、左辺でiが掛かっていた項の総和は０にならなければなりません。iが掛かっていない項の総和はもちろん-1になって欲しい。この二つの条件を解けば、aとbが求められるはずだということになります。２乗すると虚数になるような「夢のような」数がどんなものなのか、是非自分で求めてみて下さい。

お礼

自分はそこまで考えを発展させることが出来ませんでした。
計算して見ますね。

丁寧なご解説ありがとうございました。

回答No.2

piro19820122

存在します。
複素数と複素平面をご存知であれば、複素平面上に単位円を書いてド・モアブルの定理を思い起こしてください。
単位円上の点が示す複素数のｎ乗根は、極座標で表したときの偏角が１／ｎになる点だということが分かるかと思います。

単位円上の点以外についても、単位円上の点を実数倍したものですから、当然にｎ乗根が存在します。

お礼

む……難しい。
自分がもっと数学の知識を蓄えてから、もう一度考えて見ようと思います。

ありがとうございました。

回答No.1

BookerL

＞二乗して虚数になる数と言うのは存在しないのですか？

　存在します。例えば

１＋ｉ

２乗すると　２ｉ になります。

お礼

確かに計算して見ると2iになりますね。
ありがとうございました。