虚数単位【i】の計算

質問

僕は,鹿児島県内において高校1年生である者なのです。
虚数単位【i】について最近学ぶのですが,
2つ程腑に落ちぬ点がありますので,
質問をさせていただきたく思いました。

【1】「√i（ルート虚数単位）」,というものは
どういう値になるのでしょうか。そもそも,定義されているのでしょうか。
【2】「iのi乗」,というものは
どういう値になるのでしょうか。そもそも,定義されているのでしょうか。

虚数の本質なぞ全く判っていないような未熟な質問なのですが,
どうかどうか,人助けだと思っての親切な解答,お待ちしております・・。

回答No.6

ruto

>【1】「√i（ルート虚数単位）」,というものは・・・
ｉは虚数とよばれており、普通の数値は実数です。
虚数と実数の間には９０度のずれがあります。だから２つの大きさを出す時は各数値を自乗して加えて平方します。
　直角三角形を思い浮かべてください。底辺が実数で高さがiの付く数
値で高さ＋底辺はピタゴラスの定理で（底辺の自乗＋高さの自乗）
を平方して斜辺の長さを求めます。ある実数aにiを掛けると縦軸上にaとなりaiにｉを掛けると-aとなり、負の実軸上に-aの所です、それにiを掛けると－aiとなり縦軸上の－aの所です。それにiを掛けると実軸上のaにもそります。即ちｉを掛ける毎に９０度ずつ反時計回りに回転します。だからiは数値ではなく方向を示すと考えればいいと思います。

回答No.5

info22

#2です。
A#2のミスの訂正です。

>二乗するとiとなる虚数は
>(1±i)/√2,(-1±i)/√2の4通りあります。
±(1+i)/√2の２通りあります。

ちなみにgoogle電卓では
√(i)=(1+i)/√2
の方だけ表示されます。
虚数の√の定義の仕方で
√(i)=(1+i)/√2　だけ
（この場合-√(i)=-(1+i)/√2)
とするケースと
√(i)=±(1+i)/√2
とするケースがあります。

回答No.4

BookerL

「２の平方根」は、２乗すると２になる数のことで、正負２つあり、そのうち正のものを √２ と表し、負のものを －√２ と表します。

＞【1】「√i（ルート虚数単位）」,というものは
＞どういう値になるのでしょうか。

　ここで √ｉ が √２ のときのように、「２乗してｉになる数のうち正のもの」と考えると、それは存在しません。（一般に複素数では正負が定義されない）

　「２乗してｉになる数」は存在するか、という質問として、回答します。
　そのような数が存在するとして、その数を ｘ＋ｉｙ としましょう。（ｘ、ｙ は実数）

（ｘ＋ｉｙ）^2 ＝ ｘ^2 ＋ ２×ｉ×ｘｙ － ｙ^2
　　　　　　　 ＝ (ｘ^2 － ｙ^2) ＋ ｉ(２ｘｙ)

となりますから、これが ｉ に等しくなるためには

(ｘ^2 － ｙ^2)＝０　かつ　 ２ｘｙ＝１　となるｘ、ｙを求めればいいことになります。
　ｘ、ｙが実数という条件でこの二つの式を解いてみましょう。二通りの答えが出てきます。（＃１さんの回答と同じです。）

＞【2】「iのi乗」,というものは
＞どういう値になるのでしょうか。そもそも,定義されているのでしょうか。

　ある数の虚数乗、というのは定義されます。
ｉ＾i は、有名な「オイラーの公式」から導くことができるようです。

http://d.hatena.ne.jp/mr_konn/20070501/1178022940

　ただ、オイラーの公式自体は、高校数学では範囲を超えていると思います。大学で学ぶ「解析学」で扱う範囲でしょう。

回答No.3

Tacosan

Google さまにお伺いをたててみるといいかも.

回答No.2

info22

【1】
√iの√の定義がどうかは別にして
二乗するとiとなる虚数は
(1±i)/√2,(-1±i)/√2
の4通りあります。

【2】aのn乗を「a^n」と書けば
i^2=-1
i^3=-i
i^4=1
i^5=i
などとなります。

一般化すれば
mを非負整数とすれば
i^(4m)=1
i^(4m+1)=i
i^(4m+2)=-1
i^(4m+3)=-i
となります。

これ以上の拡張は大学の数学で学ぶことになるかと思います。

回答No.1

sanori

こんばんは。

＞＞＞
【1】「√i（ルート虚数単位）」,というものは
どういう値になるのでしょうか。そもそも,定義されているのでしょうか。

√ｉ　＝　±（１＋ｉ）／√２
です。

試しに右辺を２乗してみてください。
答えが　ｉ　になりますので。

ちなみに、私が上記の答えをどうやって出したかというと、
中心が（０，０）の半径１の円を描いて、
座標（１，０）から反時計回りに９０度のところがｉを表すから、
４５度のところの座標が（１／√２，１／√２）になる、
ということを図解で求めたのです。
（オイラーの公式と関係があります。）

＞＞＞
【2】「iのi乗」,というものは
どういう値になるのでしょうか。そもそも,定義されているのでしょうか。

これは私は知らなかったのですが、
下記に書かれています。
http://blog.livedoor.jp/enjoy_math/archives/50662295.html

以上、ご参考に。