二乗すると-iとなる数

質問

二乗すると-iとなる数は虚数（複素数）でしょうか?
そうでないとすると何でしょうか?

またその数をjとすると
二乗すると-jとなる数は虚数（複素数）でしょうか?
そうでないとすると何でしょうか?

…以下無限大まで続きます。

虚数を習ったときからの疑問です。
よろしくお願いします。

回答No.5

noname#112109 · ベストアンサー

2乗すると－iになる数をzとおくと，
z^2＝－i＝cos(3π/2＋2πn)＋i sin(3π/2＋2πn)
ド・モアブルの定理より
z＝cos(3π/4＋πn)＋i sin(3π/4＋πn)
n＝2kのとき，z＝cos 3π/4＋i sin 3π/4＝(－1/√2)＋(1/√2)i
n＝2k＋1のとき，z＝cos 7π/4＋i sin 7π/4＝(1/√2)－(1/√2)i
(n,kは整数)
よって2乗すると－iになる数は(－1/√2)＋(1/√2)i,(1/√2)－(1/√2)i

お礼

ド・モアブルの定理勉強してみます。
ありがとうございました。

回答No.4

alice_44

虚数は習ったのですね。

虚数単位 i の極形式表示は、e^( (π/2)i + 2nπi )
n は任意の整数でしたね。

よって、-i = e^( (π/2)i + 2nπi + πi )
= e^( (3/2 + 2n)πi ) です。
二乗すると e^( (3/2 + 2n)πi ) となる数は、
e^( (3/4 + n)πi )。これが、j です。

よって、-j = e^( (3/4 + n)πi + πi )
= e^( (7/4 + n)πi )。
二乗すると e^( (7/4 + n)πi ) となる数は、
e^( (7/8 + n/2)πi ) です。

k 回目には、e^( (1 - 1/2^(k+1) + n/2^(k-1))πi )
となります。帰納法で示してみてください。

この複素数の偏角 (1 - 1/2^(k+1) + n/2^(k-1))π が、
π の整数倍になることはありえませんから、
何回やっても、実数にはならない
… 虚数となることが判ります。

お礼

ありがとうございました。
大変感謝しています。少し（沢山?）時間を下さい。
私にとって、長年の疑問を解く、大きな成長の足がかりになるはずです。
勉強してみます。

…勉強してみます。

回答No.3

ziziwa1130

ヒントです。
2乗して-iになる数は、4乗したら-1になります。
4次方程式
x^4+1=0
を解けばその1つが求める数になります。

お礼

ご返信、遅れて大変申し訳ありませんでした。
最近、複素数より広い概念はないということがわかってきました。
もう少し勉強してみます。

回答No.2

naniwacchi

#1です。

すみません。もしかして、複素数（虚数）を習いたてでしょうか？
それならば、まだ先ほどの回答は理解できないかもしれません。

もしそうであれば、高校数学の中で習う内容で解けるようになりますので、それまで待ってください。

お礼

早速のご回答ありがとうございました。
高校卒業から何十年も経ってしまいましたが、ずっと気になっていました。
少し考えてみます。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

単純に、極形式にすれば求まりますよ。

z^2= -iを満たす zを求めます。
z= r* (cosθ+ i* sinθ)とおくと、r= 1となり
cos(2θ)+ i* sin(2θ)= -i

ここからは一度計算してみてください。

お礼

ありがとうございます。
大変助かります。
ヒントをいただきましたので少し考えてみます。