虚数単位?

質問

なぜiの２乗が－１となる数を考える必要があるのか分かりません。
分かる方教えていただけると助かります。

回答No.8

Ishiwara · ベストアンサー

数学や科学は「多くの複雑なことをなるべく簡単な表現で記述する」ことを目的としています。例えば公式なども、その努力による産物です。

(1) ２次方程式には、解けるものと解けないものがある。
(2) ２次方程式は、どんなものでも解ける。

どちらが便利でしょうか。先人たちは、(2)のほうを採りました。そのために、虚数や複素数を定義することが必要になったのです。

虚数や複素数を使うと、幾何学の問題が簡単に解けたり、電気の理論が実に簡単に表現できたりします。

「なぜ、こんなものが要るの？」という疑問は悪いことではありませんが、それはしばしば「数学なんてくだらない」という間違った方向に進展します。しばらくそういう疑問を抱かないことにすると、あるときパッと目が開けるということも有りえます。

回答No.9

tenntennsevengoo

解の方程式で必要になっていくからです。
√（B＾２－４AC）この中が虚数になるパターンがあるでしょ。
以上

回答No.7

Tacosan

「実数の範囲内で代数方程式の解を求める」ということに限定しましょう.
当然ですが, 二次方程式を解くためには虚数は不要です.
ところが, 三次方程式の解の公式を使うためには虚数が必要です.
実際, 複素数を使わないと「3個の異なる実解を持つ三次方程式」を解くことができません.

お礼

三次方程式まで考えるんですね。
参考になりました！ありがとうございました。

回答No.6

leige

高木先生の解析概論の中にある
「変数を複素数にまで拡張することは、19世紀以後の解析学の特色で、
それによって古来専ら取扱われていたいわゆる初等関数の本性が
初めて明らかになって、微分積分法に魂が入ったのである。」
という文章には虚数単位iが数学で大切なものであるという
雰囲気がでているのではないかと思います。

お礼

高木先生の解析概論ですか。
ちょっとしらべてみます！ありがとうございました。

回答No.5

chinatsu1984

(+)×(+)＝(+)、(+)×(-)＝(-)、(-)×(-)＝(+)ってなってますよね。
だから二乗して(-)になるというものは実数の範囲内には存在しないのです。
そのため概念を広げて、X^2=(-)となるとき、虚数iを導入したのです。

昔は高校もしくは進学校なら中学で二次方程式を解く際に虚数単位と虚数平面を教えてくれたのですが、最近はゆとり教育と、力不足の教師が大半なので、なかなか納得させることは難しいようです。

お礼

もっと勉強してみます！
ありがとうございました。

回答No.4

ymmasayan

最初は皆さんの言われるように二次方程式の解を表すためだけの便宜上のものでした。
しかし色々研究してみるとすごい性質を持っていることがわかったのです。

今では電気(交流)の世界では無くてはならないものに成っています。

一端をご紹介しましょう。
Ｘ軸とＹ軸を持ったグラフを考えます。普通に右を＋、左を－とします。
上をｉの軸、下を－ｉの軸にします。
ここで、＋１にある点Ａにｉをかけると上に上がります。
さらにｉをかけつづけると
－１、－ｉ、１・・・と変化します。
つまりｉをかける度に９０度回転するのです。
√２・(１＋ｉ)／２で４５度の回転も表せます。
交流ではこのように回転が表せると言うことが非常に重要なのです。

回答No.3

spybotgirl

便利だから、というのがひとつの理由と思います。そもそも、必要性から生まれたのでなく、数学者が生み出して利用されるようになったものだと思います。
例えば、虚数（複素数）を使って、振動とかを（微分）方程式で表し答えを求めることができます。
単純に面白いと思える点を。。。複素数（a+bi)は、２次元座標で表せます（x座標がa、y座標がb)。これを（a,b)のベクトルとして考えます。複素数同士を掛けると、原点を中心にして回転するような感じです（（ｒ,θ）極座標で考えると分かりやすい）。掛け算で回転する数なんて面白いと思いませんか？回転するような数、だからこそ、先ほど述べた振動を表せる、ということもうなずけますよね（振動は、円運動の射影です）。細かいことは忘れたので調べてください^^。

回答No.2

530529

ｉを考えないと、実数で答えのでない場合が出てくるのではありませんか　？

回答No.1

reachippatu

二次方程式の解を求めようとすると、どうしても
必要となる概念だからです。

古代より・・・
現実社会をモデル化した場合に、二次方程式になる
ことはよくありました。
けど、その解を考えた場合にどうしても二乗したら
マイナスになる数の存在を避けられなかったのです。

お礼

必要な概念だったんですね。
勉強になりました。ありがとうございました！