虚数単位の正負について

質問

正数と正数をかけても負数になりませんが、負数と負数をかけると正数になってしまいます．この点で正数と負数は同等の存在ではないようです．ところが＋ｉと+ｉをかけても-ｉと-ｉをかけても同じように-１になってしまいます。正数負数と正負の虚数単位とでは両者の関係のあり方がちがうのでしょうか。

回答No.5

grothendieck · ベストアンサー

良いご質問だと思います。実数と複素数では実数には順序関係を考えるが、複素数では通常順序を考えないという違いがあります。正数負数と正負の虚数単位とではそのような違いがあると思います。

参考URL：

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/number/complexnumber.htm

お礼

ご示唆ありがとうございます。もう少し勉強してみたいと思います．

回答No.6

manchin

ガウス平面で考えると、-1を掛けることは、反時計方向に180度転回、iを掛けることは、反時計方向に90度転回することに対応していますから、計算してみてください。
iで割ることは、時計方向に90度転回、に対応していますね。

お礼

ご助言ありがとうございます．

回答No.4

tarame

質問の意図が、何ともつかめないのですが…。
そもそも虚数には、符号(正か負か)という議論は無意味なのです。
仮に「i＞0」とすると
両辺をｉ倍して　i^2＞0
ゆえに -1＞0 となり「ｉ＞0」でないことが分ります。
「ｉ＜0」としても同様です。
虚数の正負は考えないのです。

お礼

虚数単位の前に正負の符号がついているのでわからなくなりました。ありがとうございました．

回答No.3

kbannai

少々「同等」の定義が曖昧なのですが…。

演算によって結果が同じだからといって、演算前のものが同等（同値？）とは
限らないと思います。

確かに負の数と負の数の積は正の数ですが、
負の数と負の数の和は正の数ではありませんよね。

虚数は数を数える手段としての数概念とは全く無関係です。
基本法則 i^2=-1という記号であって、
その存在価値は、n次方程式の根がn個あるように
有用かつ取り扱いやすい数体系の中で閉じています。

お礼

どうもありがとうございます．ご示唆に添って勉強させていただきます．

回答No.2

ranx

正数に正数を掛けると「正数になります」。
負数に負数を掛けても「正数になります」。
同じように「正数となる」関係を同じと見るか異なると見るかは、
見る人の視点によります。
とすれば、
(+i)×(+i)=(-1)
(-i)×(-i)=(-1)
の関係を同じと見るかどうかも、その人の視点によるのではないでしょうか。

恐らく歴史的には、正数の概念を補うものとして負数の概念ができました。
この時点で正数と負数は同等ではなかったとも言えます。
虚数の正負は、負数の開平として、恐らく同時に概念として成立しました。
その意味では両者は最初から同等だったと考えられます。
そのように考えれば、「異なる関係」と考えることも、一応可能だと思います。
あらためて言いますが、「見る人の視点によります」。

お礼

ありがとうございました．起原が同時であったかそうでなかったかという点が特に貴重なご示唆でした．数学的には負数から正数が生まれた様にも思えるのですが，たいへん勉強になりました．

回答No.1

cheetah1374

i=√-1なのです。
したがって、
(+i)×(+i) = i^2 = (√-1)^2 = -1
(-i)×(-i) = (-1)^2×(i^2)= (√-1)^2 = -1

となり、どちらも-1となります。

お礼

早速ありがとうございました。