数Ａ 集合

質問

Ａ＝｛ｘ|２ｘ－ｘ2≧０｝、Ｂ＝｛ｘ|(ｘ－ａ)^2≦ａ｝とおくとき、Ａ∩Ｂ≠Φとなるようなａの範囲をもとめなさい。

よろしくおねがいしますm(__)m

回答No.3

ferien

Ａ＝｛ｘ|２ｘ－ｘ2≧０｝、Ｂ＝｛ｘ|(ｘ－ａ)^2≦ａ｝とおくとき、Ａ∩Ｂ≠Φとなるような
>ａの範囲をもとめなさい。

Ａの式は、ｙ＝２ｘ－ｘ^2＝－（ｘ－１）^2＋１で、軸がｘ＝１である上に凸な放物線です。
２ｘ－ｘ^2≧０より、ｘ（ｘ－２）≦０より、０≦ｘ≦２がＡのｘの範囲です。
Ｂの式を　f(x)＝（ｘ－ａ）^2－ａ＝ｘ^2－２ａｘ＋ａ^2－ａとおきます。
f(x)のグラフは、軸がｘ＝ａである下に凸な放物線です。

Ａ∩Ｂ≠Φとなる（f(x)が０≦ｘ≦２で解をもつ）ような条件は、f(x)が以下をを全部満たすことです。
（１）f(x)がｘ軸と交点を持つこと、判別式Ｄ≧０
（２）０≦軸≦１のとき、f（０）≦０，f(2)≧０　または、
　　　１＜軸　のとき、f(0)＞０，f(2)≦０

（１）判別式Ｄ＝４ａ^2－４（ａ^2－ａ）＝４ａ≧０より、　ａ≧０……（１）
（２）
１）０≦軸≦１より、０≦ａ≦１……（２）
　　f(0)＝ａ^2－ａ＝ａ（ａ－１）≦０より，０≦ａ≦１
　　f(2)＝４－４ａ＋ａ^2－ａ＝（ａ－１）（ａ－４）≧０より，ａ≦１，４≦ａ
よって、（１）（２）を満たすのは、０≦ａ≦１
２）１＜軸より、１＜ａ……（３）
　　f(0)＝ａ^2－ａ＝ａ（ａ－１）＞０より、ａ＜０，１＜ａ
　　f(2)＝４－４ａ＋ａ^2－ａ＝（ａ－１）（ａ－４）≦０より、１≦ａ≦４
よって、（１）（３）を満たすのは、１＜ａ≦４……（４）

Ａ∩Ｂ≠Φとなるようなａの範囲は、０≦ａ≦１　または　１＜ａ≦４だから、
まとめると、０≦ａ≦４

になりました。

回答No.2

151A48

Aは２次不等式を解けば　0≦x≦2
Bはまずa<0だと条件式を満たすｘは存在しないのでＢ＝φ。よってa≧０です。
このときＢの不等式を解くと，a-√a≦x≦a+√a
Aの範囲は固定されていますから，a+√a≧０に注意してＡ∩Ｂ≠φになる条件を調べると
a-√a≦２　になることは分かりますか。
a-2≦√a　として
まず0≦a≦2・・・（１）のときＯ．Ｋ
a>2のとき，両辺２乗してa^2-4a+4≦a これより　1≦a≦4ですがa>2の前提なので2<a≦４・・・（２）
（１），（２）より0≦a≦4
細かい計算や理由の説明は書いいませんが，自分でやってみましょう。

回答No.1

MagicianKuma

集合Aのx2はx^2のことですね？　であれば、他にパラメータがないわけですから、
2x-x^2≧0　からxの範囲をまず求めてみてはどう？