集合

質問

実数全体の集合をRで表し、これを全体集合とする。このときの部分集合A={x|x^2-x-2>0} の補集合をbar Aで表す。また、実数kに対して、部分集合BをB={x|x^2-2kx-k+6>0}で表すとき、(barA) ⊂ B になるkの範囲を求めよ。

解き方 まずAについて、(x+1)(x-2)>0より、x<-1、2<xとなる。
これより、bar A={x|-1≦x≦2}
(bar A) ⊂ Bとなる条件は、-1≦x≦2の範囲のxに対してx^2-2kx-k+6>0が成り立つ事である。
f(x)= x^2-2kx-k+6= (x-2)^2-k^2-k+6 とおき、k<-1, -1≦k≦2, 2<kのときについて、軸x=kの位置で場合分けをして考える。

答え k<-1のとき f(-1)=k+7>0 k<-1より、-7<k<-1
-1≦k≦2のときf(k)=-k^2-k+6>0, (k-2)(k+3)<0, -1≦k≦2より、-1≦k≦2
2<kのときf(2)=-5k+10>0, k>2より解なし。
よって求めるkの範囲は-7<k<2

私は、f(x)=x^2-2kx-k+6 > 0を[x-{k+√(k^2+k-6)}]*[x-{k-√(k^2+k-6)}>0 として、-1≦x≦2の部分がx≦k-√(k^2+k-6)の範囲内に収まる場合の2≦k-√(k^2+k-6)と、-1≦x≦2の部分がk+√(k^2+k-6)≦x の範囲内に収まる場合のk+√(k^2+k-6)≦-1、この2つの場合を考えて解こうとしていたのですが、この解き方でも答えを求める事ができるのでしょうか??

回答No.1

stomachman

> -1≦x≦2の部分がx≦k-√(k^2+k-6)の範囲内に収まる場合の2≦k-√(k^2+k-6)と、-1≦x≦2の
> 部分がk+√(k^2+k-6)≦x の範囲内に収まる場合のk+√(k^2+k-6)≦-1、この2つの場合を考
> えて解こうとしていた

　まず、不等号がおかしくない？　「-1≦x≦2」以外の所に出て来る「≦ 」は「＜」でしょ。

　次に、 k+√(k^2+k-6) や k-√(k^2+k-6) がもし実数でなかったら、そもそも大小比較ができません。すなわち、
　(1) これらが実数になる場合に限って、式 2＜k-√(k^2+k-6) と 式 k+√(k^2+k-6)＜-1 が意味を持ちます。
ところで、
　(2) これらが実数でない場合には、f(x)はどんなxについても正、つまりB=Rだということだから、(barA) ⊂ Bです。

　だから、「（(k^2+k-6 ≧ 0かつ（2＜k-√(k^2+k-6) または k+√(k^2+k-6)＜-1）を満たすk）、または（k^2+k-6 ＜ 0を満たすk）」が求められている。
　以上をまとめて式で書けば、求められているのは集合
　　{ k | k^2+k-6 ≧ 0 ⇒ (2＜k-√(k^2+k-6) ∨ k+√(k^2+k-6)＜-1)}
です。(⇒は「ならば」、∨は「または」です。）
　場合分けして考えるんなら、
　　(i) k^2+k-6 ＜ 0　のとき
　　(ii) k^2+k-6 ≧ 0 かつ 2＜k-√(k^2+k-6) のとき
　　(iii) k^2+k-6 ≧ 0 かつ k+√(k^2+k-6)＜-1のとき
と分けるかな。

補足

とても丁寧に説明していただきありがとうございます。
おっしゃるとおり、2≦k-√(k^2+k-6), k+√(k^2+k-6)≦-1ではなく正しくは2＜k-√(k^2+k-6), k+√(k^2+k-6)＜-1ですね。
これらの2つの不等式2＜k-√(k^2+k-6)•••(1), k+√(k^2+k-6)＜-1の解き方について質問ですが、(1)の場合√(k^2+k-6)<k-2とし、不等号の向きが変わる事を考慮してk-2>0とk-2<0 の場合に分けて両辺を2乗して解けばいいのでしょうか??