数A 集合

質問

【問題】
A=｛１２ｍ＋８ｎ｜ｍ∈Z、ｎ∈Z｝、B=｛４ｌ｜ｌ∈Z｝とする。
A=Bであることを示せ。
ただし、Z=｛整数全体｝

私は
A＝｛１２ｍ＋８ｎ｜ｍ∈Z、ｎ∈Z｝
　＝｛４（３ｍ＋２ｎ）｜ｍ∈Z、ｎ∈Z｝
ここで、３ｍ＋２ｎ＝ｌとおくと、A＝｛４ｌ｜ｌ∈Z｝＝B
よって、A=Bが成り立つ

としたのですが、解答では
*－*－*－*－*
ｘ∈Aならば、ある整数ｍ、ｎについて、
　ｘ＝１２ｍ＋８ｎ＝４（３ｍ＋２ｎ）とあらわせる。
ここで、３ｍ＋２ｎが整数より、ｘ∈Bが成り立つ。
したがって、A⊂B・・・(1)
また、ｘ∈Bならば、ある整数ｌについて、
　ｘ＝４ｌ＝４（３－２）ｌ
　　　　 ＝１２ｌ＋８・（－ｌ）と表せる。
ここで、ｍ＝ｌ、ｎ＝－ｌとおくと、ｍ、ｎは整数で、ｘ＝１２ｍ＋８ｎと表せるから、ｘ∈A
したがって、B⊂A・・・(2)
(1)、(2)より、A=B
*－*－*－*－*
となっていました。
やはり、ｘ∈A⇒ｘ∈Bとｘ∈B⇒ｘ∈Aを示し、必要十分性を確かめる解答にしなくてはいけないのでしょうか？
やはり私の解答では証明したことにはならないのでしょうか？

回答No.3

alice_44

いいえ、まさにそういう問題なんですよ。
任意の整数 m,n に対して 3m+2n=l (l は整数) と置ける理由と、
任意の整数 l に対して 3m+2n=l (m,n は整数) と置ける理由を
書くことが、要求されているのです。その方法として、
例えば模範解答のような話のもってきかたがあるよ…という事です。

補足

ん…？
では、私の解答のまま進めるとすれば、「３ｍ＋２ｎは整数だから３ｍ＋２ｎ＝ｌ（ｌは整数）とおくと」と補足すればいいということでしょうか…？

回答No.2

alice_44

必要と十分を分けて示すことに拘らなくても構いませんが、
3m+2n=l と置くことができる理由を書かなくては、
証明したことにはなりません。それだけの差です。

補足

なるほど…
じゃあ３ｍ＋２ｎと置くことができる理由を書けばいいんですね
…ってそういう問題じゃないですよね（＾＾；）
大人しく解答の解法をたたきこみます…

回答No.1

nag0720

問題を変えて、

A=｛１６ｍ＋８ｎ｜ｍ∈Z、ｎ∈Z｝、B=｛４ｌ｜ｌ∈Z｝
のとき、A=Bの真偽は？

【解答】
A＝｛１６ｍ＋８ｎ｜ｍ∈Z、ｎ∈Z｝
　＝｛４（４ｍ＋２ｎ）｜ｍ∈Z、ｎ∈Z｝
ここで、４ｍ＋２ｎ＝ｌとおくと、A＝｛４ｌ｜ｌ∈Z｝＝B
よって、A=B

これがなぜ間違っているか分かりますよね。

補足

４ｍ＋２んがまだ２（２ｍ＋ｎ）とできるから、でいいですか…？