留数定理による実積分の計算

質問

留数定理を用いて実積分を行いたいのですが，以下の問題がどうしても証明できません。

∫[0→∞]（x^a/(x^2+1)）dx=(π/2)/(cos(πa/2)) (0<a<1)

積分路は
C1：実軸上をε→R，C2：半径Rの円上を0→2π，C3：実軸上をR→ε，C4：半径εの円上を2π→0
です。

途中計算を詳しく載せていただけるとありがたいです。

回答No.1

Ae610 · ベストアンサー

∫[0→∞]{(x^a/(x^2+1)}dx

f(z) = z^a/(z^2＋1)とすると極はz = ±i
∴Res{f(z)；z = i} =i^a/2i = e^(πi/2)/2i
Res{f(z)；z = －i} =－(－i)^a/2i =－e^(3πi/2)/2i

積分路:
C1：実軸上をε→R
C2：半径Rの円上を0→2π
C3：実軸上をR→ε
C4：半径εの円上を2π→0
・・・において
∫[ε→R]＋∫[C2]＋∫[R→ε]＋∫[C4] = 2πi・{Res{f(z)；z = i}＋Res{f(z)；z = －i}}
R→∞、ε→0の極限では∫[C2]→0、∫[C4]→0
∫[0→∞]{z^a/(z^2＋1)}dz = ∫[0→∞]{x^a/(x^2＋1)}dx
∫[∞→0]{z^a/(z^2＋1)}dz = ∫[∞→0]{e^(2aπi)・x^a/(x^2＋1)}dx
=－∫[0→∞]{e^(2aπi)・x^a/(x^2＋1)}dx　（∵R→εではarg(z) = 2π）

よって
∫[0→∞]{x^a/(x^2＋1)}dx＋∫[∞→0]{e^(2aπi)・x^a/(x^2＋1)}dx
=(1－e^(2aπi))∫[0→∞]{x^a/(x^2＋1)}dx
= 2πi・{Res{f(z)；z = i}＋Res{f(z)；z = －i}}
= 2πi・[e^(πi/2)/2i－e^(3πi/2)/2i}
= π・e^(iaπ)・(e^(－πi/2)－e^(πi/2))
= π・e^(iaπ)・(－2i・sin(π/2))
従って
∫[0→∞]{x^a/(x^2＋1)}dx
= π・e^(iaπ)・(－2i・sin(πa/2))/(1－e^(2πai))
= π・e^(iaπ)・(－2i・sin(π/2))/(e^(iaπ)・(－2i・sin(πa)))
= π・sin(πa/2)/(2・sin(πa/2)・cos(πa/2))
= π/2・sec(πa/2)

お礼

すみません，解決しました。
本当にありがとうございました。

補足

お速い回答ありがとうございます。
再度申し訳ないのですが，留数を求めている部分で，aはどうなったのでしょうか？
複素積分の部分は，留数を使ってとりあえず
2πi・[i^a/2i -(-i)^a/2i]
となりますよね？
これを計算すると何度やっても
2πi*sin(πa/2)
となってしまいます。すみませんが，そこら辺を詳しくお願いできないでしょうか？

回答No.2

Ae610

ANo.1です。
スミマセン！
ところどころaの文字が抜け落ちてました・・・！
（書いたつもりになってました）
Res{f(z)；z = i} =i^a/2i = e^(πai/2)/2i
Res{f(z)；z = －i} =－(－i)^a/2i =－e^(3πai/2)/2i
・・・でした！