留数定理を使った解き方を教えてください。

質問

留数定理を使った解き方を教えてください。
ある本の次の問題の解き方が分かりません。分かる方教えていただきたくよろしくお願いいたします。
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原子衝突の理論では次の、実数pを含む積分に遭遇する。
I=∫(-∞→∞)｛(sin t)exp(ipt)/t｝dt
この積分を求めなさい。
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答は、以下のとおりです。
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|p|>1ならI=0で、|p|<1ならI=π。
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答に示されている積分経路は以下のとおりです。（本の説明では、ひとつ前の問題の積分経路として記載されていますが、おそらくそれは誤植で、この問題の積分経路と思われます。）
また、ε→0、R→∞の極限を取ると思われます。
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C1：ε→R（ε及びRは正の実数。実軸上を移動）
C2：R→-R（θ=0→πの反時計回り）
C3：-R→-ε（実軸上を移動）
C4：-ε→ε（θ=π→0の時計回り）
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これ以上の解説はありません。
その本の他の問題を参考に、以下の計算をしてみました。
f(z)=(sin z)exp(ipz)/z
とおくと、
sin z=(exp(iz)-exp(-iz))/2i
より
f(z)=(exp(2iz)-1)exp(i(p-1)z)/2iz
となり、
z=r(cosθ-isinθ)とおくと、
exp(i(p-1)z)=exp{-(p-1)rsinθ+i(p-1)rcosθ}
となります。
C4の経路では、f(z)=0となるような気がするのですが、C2の経路はどうすればよいのか分かりません。

よろしくお願いいたします。

回答No.1

gotouikusa · ベストアンサー

MEOWSTERさんへ：
C4にそった線積分が0にならないと思います。
むしろC2の方が，たぶん，Jordanの補題より→ 0　(as R → ∞)　と思います。
ご参考までに，Jordanの補題を引用いたします。
C4の経路の計算については，∫[―∞,∞]｛sin x / x｝dx ＝π の計算がご参考になれると思います。

浅学非才でお役に立てなくてすみません。宜しければ，alice_44先生,Ae610先生，rabbit_cat先生，Info22先生のご教授をお待ちしたいと存じます。

ちなみに，もしそういう「厳密」な方法にこだわらなくて良いなら，1 / x のフーリエ変換に関連するある公式からも，同じ解になります。
ご参考までに，次の回答で添付いたします。

お礼

gotouikusaさん

ジョルダンの補題を教えて頂きありがとうございます。
ただ、質問の欄で定義したf(z)だとジョルダンの補題は使えないと思います。
と言いますのは、z(=x+yi)が複素数のとき
sin z= sin x cosh y + i cos x sinh y
={sin x (e^y+e^-y)+ i cos x (e^y-e^-y)}/2
ですので、|z|→∞のときに(sin z)/zは0にならないと思います。
たとえば、x=0、y→∞では
(sin z)/z= i (e^y) /2y→∞
です。

最初のf(z)が間違っているのかもしれませんが、
今のところ、他の式も思いつきません。

また、フーリエ変換の解き方も読ませていただこうと思いますが、
本の内容は留数定理の練習問題なので、留数定理を使った解き方を待ちたいと思います。

補足

質問者のMEOWSTERです。

ジョルダンの補題を使って、解くことができました。

f(z)=(sin z)exp(ipz)/z
に丸ごと、留数定理とジョルダンの補題を使おうとしたのが間違いでした。

f(z)={exp(i(p+1)z)-exp(i(p-1)z)}/(2iz)
と変形できます。

ここで、留数定理とジョルダンの補題により
a>0として
∫(-∞→∞)｛exp(iat)/t｝dt=πi　（質問欄に記載のとおり実軸より上の経路で積分）
∫(-∞→∞)｛exp(-iat)/t｝dt=-πi　（実軸より下の経路で積分）
となるため、
f(z)を以下の2式に分けることにより、
f1(z)={exp(i(p+1)z)}/(2iz)
f2(z)={exp(i(p-1)z)}/(2iz)
以下の答えを導くことができました。
|p|>1ならI=0で、|p|<1ならI=π

大変ありがとうございました。

回答No.5

gotouikusa

Gotouikusaです。
申し訳ございません。画像に誤りがありました。
(＊)式のなかの exp[-itx] はexp[itx]の間違いでした。
訂正して，お詫び申し上げます。

回答No.4

gotouikusa

さっきの回答にある公式(＊)のカンタンな証明です。
1/x を p.v. 1/x として定義します。

回答No.3

gotouikusa

すみません，＃２では画像を添付できませんでした。

回答No.2

gotouikusa

1/x のフーリエ変換に関連する公式（＊）よりも，解を得ることができました。
ご参考になさってください。