確率の問題

質問

以下の問題がよくわかりません。解説をお願いします。

回答No.1

muturajcp

Xの確率密度関数をλe^{-λx}
Yの確率密度関数をλe^{-μy}
とすると
(X,Y)の確率密度関数はλμe^{-λx-μy}
(1)
P(X≧Y)
=∫_{0～∞}μe^{-μy}∫_{0～y}λe^{-λx}dxdy
=∫_{0～∞}μe^{-μy}[-e^{-λx}]_{0～y}dy
=∫_{0～∞}μe^{-μy}[1-e^{-λy}]dy
=∫_{0～∞}(μe^{-μy}-μe^{-(μ+λ)y})dy
=[-e^{-μy}+μe^{-(μ+λ)y}/(μ+λ)]_{0～∞}
=1-μ/(μ+λ)
=λ/(μ+λ)

(2)
P(X≦Y)
=∫_{0～∞}λe^{-λx}∫_{0～x}μe^{-μy}dydx
=∫_{0～∞}λe^{-λx}[-e^{-μy}]_{0～x}dx
=∫_{0～∞}λe^{-λx}[1-e^{-μx}]dx
=∫_{0～∞}(λe^{-λx}-λe^{-(μ+λ)x})dx
=[-e^{-λx}+λe^{-(μ+λ)x}/(μ+λ)]_{0～∞}
=1-λ/(μ+λ)
=μ/(μ+λ)