確率の問題について

質問

この問題がわからないです。じぶんはこたえが2／7になってしまいました。その過程は添付した画像の通りです。どうして自分のこの答えが間違えているのかを教えて下さい。またこの問題の解説もしてほしいです。

回答No.4

staratras · ベストアンサー

この種類の問題で、行き詰まったら、下の図の左側のように出発地点Aからの確率を具体的に計算すると分かりやすいでしょう。参考のため全部の点について計算しています。

2方向選べる点からは「その地点を通過する確率の1／2ずつ」ですが、１方向にしか進めない点もあり、2方向から合流する地点ではもちろん両方の和になります。興味深いことは、右下がりの斜めの直線上にある点の確率の和は必ず1になることです。これは縦横（北・東）に合計が同回数だけ進んだ地点になりますので、確率の合計が1になるのは当然ですが、検算に利用できます。

また、本質的には同じですが、逆に通過地点であるPから逆にたどっていくこともできます。下の図の右側のように、各点を通る確率をP1〜P10とし、Pを通る確率をPxとすれば、以下の式がなりたちます。（1/2は0.5と表記しました）
Px=P1+0.5P2,P1=P3+0.5P4,P2=0.5(P4+P5),P3=0.5P6,P4=0.5(P6+P7),P5=0.5(P7+P8),P6=0.5P9,P7=0.5(P9+P10),P8=0.5P10

ここでP9=P10=0.5であることは明らかなので、次々にさかのぼって代入していけばPx=0.5=1/2　が得られます。

ご質問者さまの解法は「よくある勘違い」で、「すべて地点で2方向に1/2ずつ進めるわけではない」ということが見落とされています。

回答No.5

staratras

No.4です。おそらく出題者の意図には反するでしょうからお勧めはしませんが、次のように考えると求める確率が1/2であることは、具体的に計算しなくてもすぐにわかります。

この問題では、2方向に進める点ではどちらに進むのも1/2ずつの確率で等しいので、対称性がある範囲では、対角線ABに関して対称の位置にある点を通る確率が等しいことは明らかです。

下の図では、P＝P’、Q1=Q4かつQ2=Q3 です。また右下がりの直線上にある点の確率の和は1です。このためQ1+Q2=Q3+Q4=1/2であることも明らかで、これはNo.4の図でも確認できます。ところが問題では縦と横(北と東）の経路の数が違っていて完全に対称ではないので、この考え方はそのままでは使えません。

そこで、問題の図にもう1段青い部分を付け足して考えます。これならばR1+R2=R3+R4=1/2 です。ところが問題のように、この1段が存在しなければ、R1を通るはずだったものはすべてR2（点P）を通るしかありませんので、R2=R3+R4=1/2となります。

お礼

表があって可視化されていたことが理解につながりました。また一つの考え方だけでなく、より手軽な方法まで教えていただいて本当に感謝しています。おかげで長い間わからなかったものがスッキリ理解できました。ありがとうございました。

回答No.3

上野 尚人（@uenotakato）

与えられた図形ではなく、2マス×２マスの正方形からなる経路（田の字）で説明していきます。
田の字の左下をスタート地点A、右上をゴール地点B、田の字の中心を点Pとします。
AからBに至る最短経路は 4! / (2! 2!) = 6種類で、その内訳は
→→↑↑ ①
→↑→↑ ②
→↑↑→ ③
↑→→→ ④
↑→↑→ ⑤
↑↑→→ ⑥
となります。

もし、この6本の経路を選ぶ確率がすべて等しければ、
6本のうち点Pを通る経路は②③④⑤の4本なので、点Pを通る確率は
4 / 6 = 2 / 3
となります。

しかしお尋ねの問題の設定では「各頂点に達するたびに、選べれば 1/2 ずつの確率で右か上を選ぶ」となっています。よって
①を選ぶ確率は (1/2) * (1/2)*1*1 = 1/4
②を選ぶ確率は (1/2) * (1/2) * (1/2) * 1 = 1/8
③④⑤は、②と同様に確率 1/8
⑥を選ぶ確率は、①と同様に確率 1/4
となり、点Pを通る確率は
(1/8) * 4 = 1/2
です。

たぶん、前半に述べた「すべての最短経路が等確率で選ばれる」場合と取り違えているかと思われます。

回答No.2

asuncion

なお、解説は添付画像のとおりで、
それ以上を求められても困ります。

回答No.1

asuncion

例えば、初めの3歩を上へ行ったとき、
次の2歩は必ず（確率1で）右へ行かねばならない、
あたりを見落としているのでは？