■至急■数列の問題です。教えてください。

質問

入試が目前で困ってます。
どなたか解る方、解き方と答えを教えていただけないでしょうか。
(1)は、Ｓ1=１、ａ2=２、だと思うのですが、自信がありません。

初項が１である数列{ａｎ}と、その初項からｎ項までの和Ｓｎについて、

２ａｎ-Ｓｎ=１　(2、3、・・・)

が成り立つとき、次の問いに答えよ。

(1)Ｓ1、ａ1を求めよ
(2)Ｓｎを満たす漸化式を求めよ
(3)Ｓｎを求めよ

よろしくお願いします。

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

2an-Sn=1・・・(ア)
2a(n+1)-S(n+1)=1・・・(イ)
両辺の差をとって2(an-a(n+1))-(Sn-S(n+1))=0
S(n+1)=Sn+a(n+1)ですから、
2(an-a(n+1))-(Sn-S(n+1))=2(an-a(n+1))-(Sn-Sn-a(n+1))
=2an-a(n+1)=0
よって、a(n+1)=2an→an=2a(n-1)・・・(ア)
n=2の時、a2=2a1、2a2-S2=4a1-(S1+a2)=4a1-(S1+2a1)
=2a1-S1=1→S1=2a1-1
S1=a1ですから、上の式はa1=2a1-1→a1=1、S1=1になります。
このa1=1、S1=1と(ア)式よりこの数列は、
１、２、４、８、・・・の公比２の等比数列となり、
一般項はan=2^(n-1)となるので、Ｓｎを満たす漸化式は
Sn=S(n-1)+an=S(n-1)+2^(n-1)となります。
等比数列の和の公式より
Sn=(1-2^(n+1))/(1-2)=2^(n+1)-1となります。

お礼

解りやすい説明ありがとうございました。

回答No.1

151A48

(1) S1=a1=1　当たり前と思うけど・・・
条件式をSn=2(an)-1と変形
(2) Sn+1=2(an+1)-1
Sn =2(an) -1
辺々引いて　an+1=2(an+1)-2an ∴an+1==2an 数列｛an｝は初項１公比２の等比数列なので，
　　an=2^n-1 ∴Sn={(2^n)-1}/(2-1)=(2^n)-1 　Snが先に出てしまいました。
　　Sn+1=2^(n+1)-1に2^n=（Sn）+1を代入して整理するとSn+1=2(Sn)+1がSnの漸化式。
(3) (2)で答がでています。

紛らわしいですがan+1はaの数列のn+1項目の意味です。Sn+1も。