数列の問題で

質問

An=sin[30°×ｎ]　ｎは１、２、３、・・・で定まる数列Anの初項から第ｎ項までの和をSnとする。
（１）第１０項までの和と第100項までの和をそれぞれ求めよ。

（２）Snの値が最大となるのは、ｎを１２で割った余りがいくらの時か、またそのときSnはいくらか。

Anが周期的に同じ値をとる数列ということは分かったのですが、それから先に進めません。教えて下さい。

回答No.4

yumisamisiidesu

一番スマートな考え方は
sin(x)=(e^(ix)-e^(-ix))/2iとして等比数列の和の公式を利用することだと思ってます.

回答No.3

oyaoya65

＞Anが周期的に同じ値をとる数列ということは分かったのですが、
分かったところまでの解をお示しください。
（削除対象になりますので。）
その上分からないところを補充質問してください。

ヒント
(1)
S10=A1+A2+・・・+A10=S12-(A12+A11)=-A11=?
S(12k)=0,S96=0
S100=S96+A97+A98+A99+A100=A1+A2+A3+A4=?
(2)
S(12m+5)=S(12m+6)=S5=S6=A1+A2+・・・+A5=?

よく考えて追加質問があれば
解を示して質問してください。

回答No.2

_pokechi_

試しに数列Anを第1項から第13項くらいまでを書いてみます。

　1　　2　 3　 4　　5　　6　　7　　　8　　 9　　10　　11　　12　　13　 …
-------------------------------------------------------
　 1　√3　　 √3　　 1　　　　 1　　√3　　　　√3　　　1　　　　 1
　－　－　1　　－　　－　0　 -－　- －　-1　- －　　-－　0　　－　…
　 2　 2　　　　 2　　　2　　　　 2　　　2　　　　　 2　　　 2　　　　 2

第12項でsin360°（＝０）になるのだから、 第13項以降は、第1項以降と同じ値の繰り返しになります。
まずこれで、第10項までの和はすぐに計算できますね。
それから、上に書いた数列の符号に着目すると、第1項～第6項は、第7項～第12項と逆の符号で同じ値になっています。つまり、第１項～第12項の和は、０になるということです。

同じように考えると、第1項～第24項までの和も０、第1項～第36項までの和も０、…第1項～第96項までの和も０ということがわかります。

第97項～第100項までの値は、（繰り返しだから）第1項～第4項までの値と同じはずだから、これについても計算できますね。

AAがずれていたらスイマセン。

回答No.1

debut

（２）がヒントというか、まあ、書き並べてみればわかるように、１２項
で一周し、かつ初項から１２項までの和が０になりますよね。

（１）初項から第１０項までの和＝初項から第１２までの和－(第１１項＋
　　　第１２項)

　　　初項から第１００項までの和は、まず１００÷１２＝８あまり４と
　　　なるので、和が０になる１２項の部分が８回繰り返されて、のこり
　　　４つがＡ１，Ａ２，Ａ３，Ａ４と同じものがＡ97、Ａ98、Ａ99、
　　　Ａ100に並ぶことがわかります。
　　　もう、和は計算できますよね。

（２）Ｓnが最大になるのは、正の項だけがすべて残ったとき、つまり、
　　　Ａ１～Ａ５またはＡ６と同じ項が残ったときだから・・・
　　　と考えればわかりますよね。