∫<1/2→0>xe^2x dx

質問

∫<1/2→0>xe^2x dx
答え：1/4

途中式を教えてください

回答No.4

yyssaa

被積分関数が関数の積の形(例えばf(x)・g(x))の場合、
不定積分の求め方の一つに部分積分法という方法が
あります。
一方の関数を微分すると次数が下がって積分が容易に
なる場合(例えばf(x)=xやf(x)=x^2などの場合)、ある
いは微分を繰り返していくと同じ形の関数になる場合
(例えばf(x)=sinxとするとdf(x)/dx=cosx、
d^2f(x)/dx^2=-sinx）に使う方法です。
この部分積分法はf(x)g(x)の微分結果を利用した形に
なっており、f(x)をf、g(x)をg、微分記号を'で書くと
(fg)'=f'g+fg'、移項してf'g=(fg)'-fg'、両辺を積分
して∫f'gdx=fg-∫fg'dx+C(積分定数：以下略)
となります。
この問題でf(x)=x、g(x)=e^2xとおくと、
f'=1、g'=2e^2xとなるので、上の式は
∫1・e^2xdx=xe^2x-∫x・2e^2x、移項整理して
∫xe^2x=(1/2)(xe^2x)-(1/2)∫e^2xdxとなり、
∫e^2xdx=(1/2)e^2xを代入すると、求める不定積分は
∫xe^2x=(1/2)(xe^2x)-(1/4)e^2x=(1/4)(2x-1)e^2x
として得られるので、積分範囲<1/2→0>を入れて、
(1/4)(0-1)e^0-(1/4)(2・1/2-1)e^2・1/2=-1/4となります。
答えはー１/４となります。
もし答えが１/４なら積分範囲が<1/2→0>ではなく、
<0→1/2>のはずです。

回答No.3

asuncion

積分区間の開始が1/2で終了が0、ということですか？
→の向きからすると、そう解釈できます。
だとすると、答えは-1/4になるはずです。

回答No.2

ferien

部分積分法です。
ｕ’＝ｅ^2x　ｕ＝(1/2)ｅ^2x
ｖ＝ｘ　ｖ’＝１　とすると、
与式＝［ｕｖ］［0→1/2］－∫<0→1/2>ｕｖ’ｄｘ
　　＝［(1/2)ｘｅ^2x］［0→1/2］－∫<0→1/2>(1/2)ｅ^2x・１ｄｘ
　　＝［(1/2)ｘｅ^2x］［0→1/2］－［(1/2)(1/2)ｅ^2x］［0→1/2］
　　＝｛(1/4)ｅ－０｝－｛(1/4)ｅ－(1/4)ｅ^0｝
　　＝(1/4)ｅ^0
　　＝1/4

回答No.1

info22_

I=∫[0,1/2] xe^(2x)dx
部分積分して
=[x(e^(2x))/2] [0,1/2] -∫[0,1/2] (e^(2x))/2 dx
=(1/4)e-[(1/4)e^(2x)] [0,1/2]
=(1/4)e-(1/4)e+(1/4)
=1/4