∫xe^xsin(x)dx=x（∫xe^xsin(x)dx）-∫1(∫

質問

∫xe^xsin(x)dx=x（∫xe^xsin(x)dx）-∫1(∫xe^xsin(x)dx)dx

この式変形がわからないのですが。ご教授ください。

回答No.3

nag0720 · ベストアンサー

＞もともとは「∫xe^xsin(x)dxの不定積分を求めよ」という問題で

部分積分法の応用です。

(xe^xsin(x))’=e^xsin(x)+xe^xsin(x)+xe^xcos(x)
より、
xe^xsin(x)=∫e^xsin(x)dx+∫xe^xsin(x)dx+∫xe^xcos(x)dx
同様に、
xe^xcos(x)=∫e^xcos(x)dx+∫xe^xcos(x)dx-∫xe^xsin(x)dx

２式の差をとると、
xe^xsin(x)-xe^xcos(x)=∫e^xsin(x)dx-∫e^xcos(x)dx+2∫xe^xsin(x)dx
より、
∫xe^xsin(x)dx=(xe^xsin(x)-xe^xcos(x)+∫e^xcos(x)dx-∫e^xsin(x)dx)/2

あとは、∫e^xcos(x)dx-∫e^xsin(x)dxが分かればいいですね。

上記と同じ方法で、
(e^xcos(x))’=e^xcos(x)-e^xsin(x)
より、
e^xcos(x)=∫e^xcos(x)dx-∫e^xsin(x)dx
なので、
∫xe^xsin(x)dx=(xe^xsin(x)-xe^xcos(x)+e^xcos(x))/2

（積分定数は省略しています）

お礼

わかりやすい解答ありがとうございます。

ただ最初に質問したように「∫xe^xsin(x)dx=x（∫xe^xsin(x)dx）-∫1(∫xe^xsin(x)dx)dx」がなぜいえるのか知りたいんです。

回答No.5

nag0720

部分積分法
∫f(x)g’(x)dx=f(x)g(x)-∫f’(x)g(x)dx
で、
f(x)=x
g(x)=∫xe^xsin(x)dx
とすると、
f’(x)=1
g’(x)=xe^xsin(x)

∫x*xe^xsin(x)dx=x∫xe^xsin(x)dx-∫1*(∫xe^xsin(x)dx)dx

右辺は同じですが左辺が違いますね。

補足

問題自体が間違ってるんでしょうかね・・。

回答No.4

Mr_Holland

ANo.2です。

＞x（∫xe^xsin(x)dx）-∫1・(∫xe^xsin(x)dx)dx
＞＝(1/2)xe^x(sinx-cosx)-(1/2)∫e^x(sinx-cosx)dx
＞=(1/2)xe^x(sinx-cosx)-(1/2)e^xcosx+C
＞とあります。

　これが解説に書かれているとおりだとすれば、問題の式の解説にはなっていません。

　積分した結果　(1/2)xe^x(sinx-cosx)-(1/2)e^xcosx　を微分してみれば分かりますが　(x+1)e^x*sin(x)-e^x*cos(x)　となって　元の被積分関数　xe^x*sin(x) にはなりません。
　問題か解説に誤りがあると見た方がいいでしょう。

補足

微分するとxe^xsinxになりませんか？僕の計算ミスでしょうか・・。

回答No.2

Mr_Holland

＞もともとは「∫xe^xsin(x)dxの不定積分を求めよ」という問題で「ハイレベル理系数学」の例題４０にある問題なんですが・・。

　それで右辺は　何に書いてあったのですか？
　右辺を微分しても　xe^xsin(x)　にはなりませんよ。

補足

x（∫xe^xsin(x)dx）-∫1・(∫xe^xsin(x)dx)dx
＝(1/2)xe^x(sinx-cosx)-(1/2)∫e^x(sinx-cosx)dx
=(1/2)xe^x(sinx-cosx)-(1/2)e^xcosx+C

とあります。

回答No.1

Mr_Holland

ご質問の式に誤記はありませんか？
　左辺を積分を実行しても右辺にはなりませんし、右辺を微分しても左辺の被積分関数にはなりません。

　左辺の積分の式が　∫ x^2 e^xsin(x)dx の誤りだとしたら、x と xe^xsin(x)　に分けて部分積分していると理解できるのですが。

補足

もともとは「∫xe^xsin(x)dxの不定積分を求めよ」という問題で「ハイレベル理系数学」の例題４０にある問題なんですが・・。