確率です

質問

問題演習をやっていたのですが
画像の確率の解法がわかりません‥‥‥

分かる方、よろしくお願いします！

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

λ>0
X_1,X_2の分布関数をF(x)=1-e^{-λx}とする
1.
z=2x
x=z/2
分布関数をFとすると
F(z)=Pr(0<2X_1<z)=Pr(0<X_1<z/2)
F(z)=1-e^{-λz/2}

2.
分布関数をFとすると
F(u)=Pr(0<X_1+X_2<u)
=∫_{0～u}∫_{0～u-y}(λ^2)e^{-λ(x+y)}dxdy
=∫_{0～u}λe^{-λy}∫_{0～u-y}λe^{-λx}dxdy
=∫_{0～u}λe^{-λy}[-e^{-λx}]_{0～u-y}dy
=∫_{0～u}λe^{-λy}[1-e^{-λ(u-y)}]dy
=∫_{0～u}λe^{-λy}dy-λe^{-λu}∫_{0～u}dy
=[-e^{-λy}]_{0～u}-λue^{-λu}
=1-e^{-λu}-λue^{-λu}
F(u)=1-e^{-λu}-λue^{-λu}

3.
分布関数をFとすると
F(v)=Pr(0<X_1-X_2<v)
=∫_{0～∞}∫_{0～y+v}(λ^2)e^{-λ(x+y)}dxdy
=∫_{0～∞}λe^{-λy}∫_{0～y+v}λe^{-λx}dxdy
=∫_{0～∞}λe^{-λy}[-e^{-λx}]_{0～y+v}dy
=∫_{0～∞}λe^{-λy}[1-e^{-λ(y+v)}]dy
=∫_{0～∞}λe^{-λy}dy-e^{-λv}∫_{0～∞}λe^{-2λy}dy
=[-e^{-λy}]_{0～∞}-(e^{-λv}/2)[-e^{-2λy}]_{0～∞}
=1-(e^{-λv}/2)

4.
分布関数をFとすると
F(w)=Pr(|X_1-X_2|<w)=Pr(X_1-w<X_2<X_1+w)
=∫_{0～∞}∫_{max(0,y-w)～y+w}(λ^2)e^{-λ(x+y)}dxdy
=∫_{0～∞}λe^{-λy}∫_{max(0,y-w)～y+w}λe^{-λx}dxdy
=∫_{0～∞}λe^{-λy}[-e^{-λx}]_{max(0,y-w)～y+w}dy
=∫_{0～∞}[λe^{-λy-λmax(0,y-w)}]dy-e^{-λw}∫_{0～∞}λe^{-2λy}dy
=∫_{0～w}λe^{-λy}dy+e^{λw}∫_{w～∞}λe^{-2λy}dy-(e^{-λw}/2)[-e^{-2λy}]_{0～∞}
=[-e^{-λy}]_{0～w}+(e^{λw})[-e^{-2λy}/2]_{w～∞}-(e^{-λw}/2)
=1-e^{-λw}