確率の質問です。

質問

確率変数X1,X2が独立の分布に従いE(Xi)=μ,V(Xi)=σ*2,
(i=1,2)について

1）Z=c1X1 + c2X2の平均と分散を求めよ。C1,c2は定数とする。
2）c1,c2の間にどのような関係がある時にZは普遍推量になるか。
3）Zの分散の最小値を求めよ。

この3題について正規分布についての問題だということはわかるのですが1）からこのような形式の問題はあたったことがないので解法がさっぱりわかりません。ちなみに「実用統計学演習」で演習をしていますが似たような問題ものっていませんでした。解法のヒント、手順等そしてこの問題の難易度をご指導いただけないでしょうか？
よろしくお願いいたします。

回答No.2

shkwta · ベストアンサー

問題の意味がよくわからないので、勝手に憶測してみます。

1)No.1様の回答の通りです。
　分散は次のような演算で求められます。

　(1)　公式 V(X) = E(X^2) - {E(X)}^2
　(2)　公式 C(X1,X2) = E(X1 X2) - E(X1)E(X2)
　　C(X1,X2)はX1とX2の共分散。X1とX2が独立ならば、C(X1,X2) = 0
　(3)　V(c1 X1 + c2 X2) = E((c1 X1 + c2 X2)^2) - {E(c1 X1 + c2 X2)}^2
= c1^2 E(X1^2) + c2^2 E(X2^2) + 2 c1 c2 E(X1 X2) - c1^2{E(X1)}^2 - c2^2 {E(X2)}^2 - 2 c1 c2 E(X1) E(X2)
= c1^2 V(X1) + c2^2 V(X2) + 2 c1 c2 E(X1 X2) - 2 c1 c2 E(X1) E(X2)
= c1^2 V(X1) + c2^2 V(X2) + 2 c1 c2 C(X1,X2)

2)普遍推量というのが「平均値不偏推定量」の意味だと勝手に解釈。
　さらに、この問題では、
『平均μ, 分散σ^2 の確率変数Xから2つの標本X1, X2を取り出し、Z = c1 X1 + c2 X2 でXの平均値を推定する』と勝手に解釈します。
　すると、Xの平均値とZの平均値が一致すればZはXの「平均値不偏推定量」ですから
　c1 + c2 = 1

3)分散は(c1^2 + c2^2)σ^2 ですから、c1 + c2 = 1 という拘束条件の下でc1^2 + c2^2の最小値を求めればよいということになります。（c1 = 1 - c2　を代入すれば簡単)

問題の意図が異なる場合は、元の問題の文脈と比較して補足をお願いします。

お礼

早速のご指導ありがとうございます。とっつきにくい問題ですが丁寧なご解答をしていただきとても参考になりました。解答がないのですがこの解き方で納得できました。まだまだ自分の知識が不足しているのを痛感いたしました。今後練習をつんでいこうと思います。本当にありがとうございました。

回答No.1

noname#112755

まず、σの二乗は普通σ^2とかきます。*は掛け算の意味です。それから、独立の分布にしたがっているってことは、μはX1とX2で異なると考えていいですか？それから一概に正規分布の問題ともいえない気がします。

1)の平均は期待値の性質

E(X+Y)=E(X)+E(Y), E(aX)=aE(X)

を使えば平均はc1μ1+c2μ2だとおもいます。分散は「誤差伝播の法則」というのがあります（John R Taylor 計測における誤差解析などが入門的な参考書）。これをおもちいるとσ^2(Z)=(c1*σ(1))^2 + (c2*σ(2))^2だとおもいます。

2)について、不偏推定量というのは
E(θの推定量)=θ
となるようなθの推定量をいいます。なのでE(Z)とE(σ^2(Z))について考えばよいわけですが、ちょっといま考えても自身がないのでやめておきます・・・

3)については2)が分からないとだめなんでしょうね、c1とc2の関係から求めることができるんだと思います。すんません、中途半端で・・・

お礼

早速のご指導ありがとうございます。とっつきにくい問題ですが丁寧なご解答をしていただきとても参考になりました。二乗＝^というのも勘違いしていました。ご指摘ありがとうございます。まだまだ自分の知識が不足しているのを痛感いたしました。今後練習をつんでいこうと思います。本当にありがとうございました。