確率統計の問題について質問です。

質問

大学で確率と統計の講義を受講しているんですが、
演習問題で分からないところがあるので教えてください。

問題１：
確率変数Xの分布関数F(x)がx≧1のときある定数aに対して
F(x)=a-1/(x^2)で与えられているとき

(１)aの値を求めよ
(２)x<1のときF(x)を求めよ
(３)P(2<x≦3)の値を求めよ
(４)期待値E(X)を求めよ

(１)は分布関数の性質：lim_x→0 F(x)=1からa=1と分かり、
(３)はF(3)-F(2)を使って 5/36になりました。

でも(２)と(４)の解法が分からなくて困っています。
確率密度関数を与えられてやる問題はできるのですが
分布関数を与えられるパターンはやったことが無くて・・・。

問題２：
確率変数Xがパラメータ２の指数分布に従っているとき、P（X<0)＝ア
、P(X>4)＝イである。アとイにあてはまるものを求めよ。

この問題は考え方が分かれば簡単だと思うのですが、指数分布がよく分からなくて全く手が出ませんでした・・・。

どちらかでもいいので、どなたか解法を教えていただけないでしょうか。
どうかよろしくお願いいたします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

問題１：
(1)F(∞)=a=1
(2)F(1)=a-1=0
(3)F(3)-F(2)=1-(1/9)-{1-(1/4)}=5/36
(4)f(x)=F'(x)=2/x^3(x≧1),f(x)=0(x＜0)
E(X)=∫[-∞,∞] xf(x)dx=∫[1,∞] (2x/x^3)dx=[-2/x] [1,∞]=2

問題２：
＞確率変数Xがパラメータ２の指数分布
指数分布は参考URLをご覧下さい。
f(x)=2*e^(-2x)　(x≧0), f(x)=0 (x＜0)
F(x)=1-e^(-2x)　(x≧0), F(x)=0 (x＜0)
P(X<0)=0…(ア)
P(X>4)=F(∞)-F(4)=1-{1-e^(-8)}=1/e^8≒0.0003354626…（イ)

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E5%88%86%E5%B8%83

お礼

No.1の返答を参考にちょうど解いてみたところで解答が見れたので助かりました。
これでなんとか理解できました。ありがとうございました。

回答No.1

a_priori

まず(1)の解答ですが、lim_x→∞ F(x)=1 ∴a=1 ですよね？？

ご質問の部分に関しては、
(2) F(1) = 0 とF(x)の性質を用いる、
(4) f(x) = dF(x)/dx と期待値の定義を用いる、
で良いでしょう。

問題２の指数分布は、パラメータ：λとして
f(x) = λexp(-λx)
という確率密度関数をもつ分布です。
大抵の確率統計の本を開けば載っていると思いますよ。

お礼

早速の返答ありがとうございます。
ご参考にさせていただきました。