５３枚のトランプに関する確率問題

質問

確率の問題を解いていて、以下のような問題に遭遇し、解法が見つからずに困っています。
お分かりになる方がいらっしゃいましたら、式なども教えていただければ幸いです。

★ジョーカーを含む５３枚のトランプがある。
一枚ずつ引いていってジョーカーを引く前にエースを４枚引く確率は？

これは、引っ掛け要素も入っているそうです。
それが何のことなのかもお分かりになりましたら、教えてください。
どうぞよろしくお願いいたします。

回答No.2

yorodu0120 · ベストアンサー

例えば、53枚のトランプを横一列に裏返して並べ、左から一枚ずつめくっていく、と考えてみて下さい。

■■■■■■■■■■■■…■■■■　←計53枚

この場合、ジョーカーより左側にエースが4枚並んでいれば、条件を満たすことになります。

■■■A■■■A■A■■A■■J■■■　←例えばこのような配置ならOK。
（A:エース　J:ジョーカー）

ではこの場合、ジョーカーとエース4枚以外の「その他のカード」をどう扱うか。ここがポイントであり、"引っ掛け要素"です。
この問題で考えるべきなのはAとJの並び順だけなので、「その他のカード」は、考えなくてもいいわけです。
だから、「その他のカード」を抜いて、エース4枚とジョーカーの5枚だけで考えれば済みます。

5枚のカードを並べる場合、考えられる配置は
　JAAAA
　AJAAA
　AAJAA
　AAAJA
　AAAAJ
の5通り。そのうち条件を満たすのは「AAAAJ」の1通りなので、答えは1/5となります。

お礼

なんてわかりやすい説明なんでしょう！！！
これを見た瞬間、感動しました！！！
それまでのもやもやが、一気に晴れた思いがしました。
引っかけとはそういう意味だったんですね。
そして私は、まさにそれにやられていたようです。

言葉だけでなく、英字の配置も工夫してくださって、
とても見やすく、感謝の限りです。
御礼が遅くなり、申し訳ございませんでした。
本当にありがとうございます！！

回答No.7

banakona

不謹慎な回答だとは思いますが、

＞引っ掛け要素も入っている
ということなので。

問題のどこにも「裏向きで引く」とも「無作為に引く」とも書かれていないので、カードを全て表向きにして「ジョーカーを引く前にエースを４枚引こうと思えば１００％、引くまいと思えば０％」でどうでしょう？

でも１／５が正解でしょうね。

お礼

たしかに、「引っ掛け要素」に鋭く突っ込んだ考え方ですね★
ちょっといたずらっぽくて、読ませていただきながら楽しんでしまいました。
受験や試験ではこういう考え方はしないかもしれませんが、
実際問題、そうとることもできるんですよね笑
おもしろかったです☆
楽しませていただいて、ありがとうございましたｖ

回答No.6

y_akkie

考え方としては、５３枚のトランプの配置から、
まず、任意の５箇所を選択する方法は、53C5通りになります。
そして、選択した配置内にジョーカーが一番後ろになるような並べ方は
4!通りになります。そして、残りの４８枚のカードの並べ方は48!通りに
なりますので、求めるべき確率は、(53C5×4!×48!)/53! = 1/5になります。

お礼

同じ考え方でも、図をつかうのと式を使うのとでは
また違った印象を受けますねｖ
私はこのような整理された式を書くことが苦手でしたので
y_akkieさんのこの回答に、尊敬のため息が出ました。
わかりやすく、すっきりとまとまったご説明、ありがとうございました。
心から感謝いたします。

回答No.5

koko_u_

そのまま計算するとどうなるかも考えてみよう。

面倒なので 53 = n とする

トランプの並べ方の総数は当然 n！

ジョーカーの場所は 1 ～ n のどこかとしてそれを i 番目とする

エースの場所はジョーカーより先(左側)に位置するので、その場合の数は
(i-1)×(i-2)×(i-3)×(i-4) 通り。残りの (n-5) 枚の札は何処でもいいので

ジョーカーの位置 i に対して、該当するエースの可能性は

(i-1)×(i-2)×(i-3)×(i-4)×(n-5)！ 通り

結局、求める確率は Σ_{i=1}^n {(i-1)×(i-2)×(i-3)×(i-4)×(n-5)！}/n！

postro さんの結果によると n は結局何でも良いので

Σ_{i=1}^n {(i-1)×(i-2)×(i-3)×(i-4) = n×(n-1)×(n-2)×(n-3)×(n-4)/5

なる和の公式を得た。

# もちろん (i-1)×(i-2)×(i-3)×(i-4) = {i×(i-1)×(i-2)×(i-3)×(i-4) - (i-1)×(i-2)×(i-3)×(i-4)×(i-5)}/5
# から和の公式を得ておいて、確率を求めるのもアリさ。

お礼

こういう考え方で細かく教えてくださるかたはなかなかいないので
とてもうれしかったです。
もっとも最短の、理想的な解法だけでなく、一つ一つ地道にやっていく場合はどうなるのか、
知りたいけれど引けを感じてしまい、立ち向かえていない自分がいました。
このたび、koko_u_さんのおかげでそれが解決し、
本当に感謝しております。

丁寧なご説明、あちがとうございました。

回答No.4

kkkk2222

＞＞これは、引っ掛け要素も入っているそうです

＃１様の回答で、必要かつ充分です。

＜引っ掛け要素＞の解釈は２通りあります。

本問題では、５枚のＣＡＲＤのみ、考慮すれば良く、他の４８枚のＣＡＲＤに＜目が行ってしまう＞のが＜引っ掛け要素＞と言うならば、確かにそうです。

しかし、数学では出題の意図とは別に、＜不要な要素を取り除く＞事が問題解決にあたり、重要事項となります。
特に、確率の問題では頻繁に起きる現象ですので、当方は＜引っ掛け＞とは全く感じず、ＳＭＡＲＴな解法の要求と解釈いたしました。

お礼

私も、kkk222さんのおっしゃるとおりだと思います。
答えを出す過程でも、いかに迅速に、正確な解答を導き出すかは
大きなポイントですよね。
引っかけとお感じにならなかったとのこと、さすがですね！
まさに、経験の差を感じました。
まだまだな自分を、すこしでも高められるよう頑張りたいと思います。
ありがとうございました。

回答No.3

glphon

マジか！#1様とちょっと違ったのでビックリしたので一応自分の考え方も書いて見ます。

　私はその５枚が５３枚の中でセットになる確立も含めました。
　つまり５３枚のうち５枚がセットに並び、かつその中でジョーカーが最後に来る確立。

　つまり5/53 * 4/52 * 3/51 * 2/50 * 1/49に4/5 * 3/4 * 2/3 * 1/2を掛けます。
　(5*4*3*2*4*3*2)/(53*52*51*50*49*5*4*3*2)ですね、単純にすると
(4*3)/(53*52*51*50*49)
　でも大きくなりすぎてて違う気がしました。

お礼

詳しく書いてくださって、ありがとうございます！
実は、答えは５分の１だったのですが、glphonさんの考え方も、
問題を考える上でたくさん参考にさせていただきました。
ありがとうございました。

回答No.1

postro

５３枚で考えなくても、エース４枚ジョーカー１枚の計５枚で考えても結果（確率）は同じことですよね。ジョーカーが最後なのは1/5

お礼

おっしゃるとおりですねｖ
こんなに早くお返事をいただけてうれしかったです。ありがとうございました