行列の階級を計算したいのですが、よくわかりません

質問

行列の基本変形の問題がよくわかりません。
解いてくださる方は過程も示していただけると幸いです。

次の行列の階級を求めよ
第1問
|1 　 2 　 1 　 3|
|0 　 -1　 1 　 0|
|2 　 1 　 0 　 2|

第2問
|１ 　 0 　 -1 　 0 　 1 　0|
|1 　 -1 　0 　 1 　 0 　 0|
|0 　 1 　 -1 　 0 　 0 　 1|
|0 　 0 　 0 　 1 　 -1 　 1|

お手数ですが、よろしくお願い申し上げます。

回答No.4

yyssaa · ベストアンサー

第２問を含めて再度回答します。
第1問
|1 　 2 　 1 　 3|
|0 　 -1　 1 　 0|
|2 　 1 　 0 　 2|
3列×(1)を2列に加える
|1 　 3 　 1 　 3|
|0 　 0 　 1 　 0|
|2 　 1 　 0 　 2|
2列×(-1)を4列に加える
|1 　 3 　 1 　 0|
|0 　 0 　 1 　 0|
|2 　 1 　 0 　 1|
4列×(-2)を1列に加える
|1 　 3 　 1 　 0|
|0 　 0 　 1 　 0|
|0 　 1 　 0 　 1|
1列×(-3)を2列に加える
|1 　 0 　 1 　 0|
|0 　 0 　 1 　 0|
|0 　 1 　 0 　 1|
1列×(-1)を3列に加える
|1 　 0 　 0 　 0|
|0 　 0 　 1 　 0|
|0 　 1 　 0 　 1|
2列×(-1)を4列に加える
|1 　 0 　 0 　 0|
|0 　 0 　 1 　 0|
|0 　 1 　 0 　 0|
以上から独立な列ベクトルが３(０ベクトルを除く)
となったので、この行列の階数は３になります。
　なお、同様の変形を行でやっても同じ結果になる
はずです。

第2問
|1 　 0 　 -1 　 0 　 1 　0|
|1 -1 　0 　 1 　 0 0|
|0 1 　 -1 　 0 　 0　 1|
|0 0 　 0 　 1 -1 1|
1列×(1)を2列に加える
|1 　 1 　 -1 　 0 　 1 　0|
|1 0 　0 　 1 　 0 0|
|0 1 　 -1 　 0 　 0　 1|
|0 0 　 0 　 1 -1 1|
2列×(1)を3列に加える
|1 　 1 　 0 　 0 　 1 　0|
|1 0 　0 　 1 　 0 0|
|0 1 　 0 　 0 　 0　 1|
|0 0 　 0 　 1 -1 1|
5列×(1)を6列に加える
|1 　 1 　 0 　 0 　 1 　1|
|1 0 　0 　 1 　 0 0|
|0 1 　 0 　 0 　 0　 1|
|0 0 　 0 　 1 -1 0|
6列×(-1)を2列に加える
|1 　 0 　 0 　 0 　 1 　1|
|1 0 　0 　 1 　 0 0|
|0 0 　 0 　 0 　 0　 1|
|0 0 　 0 　 1 -1 0|
5列×(1)を4列に加える
|1 　 0 　 0 　 1 　 1 　1|
|1 0 　0 　 1 　 0 0|
|0 0 　 0 　 0 　 0　 1|
|0 0 　 0 　 0 -1 0|
1列×(-1)を4列に加える
|1 　 0 　 0 　 0 　 1 　1|
|1 0 　0 　 0 　 0 0|
|0 0 　 0 　 0 　 0　 1|
|0 0 　 0 　 0 -1 0|
1列×(-1)を5列に加える
|1 　 0 　 0 　 0 　 0 　1|
|1 0 　0 　 0 　-1 0|
|0 0 　 0 　 0 　 0　 1|
|0 0 　 0 　 0 -1 0|
以上から独立な列ベクトルが３(０ベクトルを除く)
となったので、この行列の階数は３になります。
　なお、同様の変形を行でやっても同じ結果になる
はずです。

お礼

詳細な解説していただき、有難うございました。本当に助かりました。

回答No.6

alice_44

A No.2 の手順が「上三角化」なのには気づいた？
非正方行列のときに上三角化と呼べるのかどうかは
知らんけど。

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri）

階数を求めるだけなら、掃き出しは
上三角化で十分です。

お礼

ご指摘有難うございました。

回答No.3

yyssaa

取り敢えず基本変形のやり方を含めて第１問について
回答します。
第1問
|1 　 2 　 1 　 3|
|0 　 -1　 1 　 0|
|2 　 1 　 0 　 2|
3列×(1)を2列に加える
|1 　 3 　 1 　 3|
|0 　 0 　 1 　 0|
|2 　 1 　 0 　 2|
2列×(-1)を4列に加える
|1 　 3 　 1 　 0|
|0 　 0 　 1 　 0|
|2 　 1 　 0 　 1|
4列×(-2)を1列に加える
|1 　 3 　 1 　 0|
|0 　 0 　 1 　 0|
|0 　 1 　 0 　 1|
1列×(-3)を2列に加える
|1 　 0 　 1 　 0|
|0 　 0 　 1 　 0|
|0 　 1 　 0 　 1|
1列×(-1)を3列に加える
|1 　 0 　 0 　 0|
|0 　 0 　 1 　 0|
|0 　 1 　 0 　 1|
2列×(-1)を4列に加える
|1 　 0 　 0 　 0|
|0 　 0 　 1 　 0|
|0 　 1 　 0 　 0|
以上から独立な列ベクトルが３(０ベクトルを除く)
となったので、この行列の階数は３になります。
　なお、同様の変形を行でやっても同じ結果になる
はずです。

お礼

丁寧な計算過程を示していただき、有難うございました。

回答No.2

alice_44

rank を「階級」と訳しているのは、
日本語の数学書を読んだことがないのかな？
英和辞典ではなく、数学辞典をひくとよいです。

階数を求めるための基本変形は、
連立一次方程式の掃き出し法とほぼ同じです。

第1問
第 1 行の 2 倍を第 3 行から引き、
第 2 行の 3 倍を第 3 行から引く。
第 3 行 3 列成分を見れば、階数が判る。

第2問
第 1 行を第 2 行から引き、
第 2 行を第 3 行に加え、
第 3 行を第 4 行から引く。
第 3 列と第 4 列を交換すると見やすくなる。

お礼

有難うございました。早速計算してみます。数学の教科書は読む機会がなかったので、日本語の訳も確認するようにいたします。

回答No.1

d_p

階数だろ？

お礼

階数の間違いでした。ご指摘有難うございます。