行列の階級を求めたいのですが。

質問

行列の基本変形の問題を解いてください！！
過程も示していただけると、幸いです。
よろしくお願いします。

次の行列の階級を求めよ

a b 1
1 b 1
1 1 1

（a,bは任意定数）

お願いします＞＜

回答No.1

noname#154783 · ベストアンサー

問題の行列をAとします．
～は基本行変形したことを表します．

[a b 1]　[1 1 1 ]
[1 b 1]～[0 b-1 0 ]
[1 1 1]　[0 b-a 1-a]

※[1 1 1]の行を1番上に持ってきて，この行を使って2行目と3行目の一番左の成分を掃き出しました．

[I] b = 1 のとき
[a b 1]　[1 1 1 ]　[1 1 1 ]
[1 b 1]～[0 0 0 ]～[0 1-a 1-a]
[1 1 1]　[0 1-a 1-a]　[0 0 0 ]
なので a = 1 なら rank(A) = 1,
そうでなければ rank(A) = 2.

[II] b ≠ 1 のとき
[a b 1]　[1 0 1 ]
[1 b 1]～[0 b-1 0 ]
[1 1 1]　[0 0 1-a]
なので a = 1 なら rank(A) = 2,
そうでなければ rank(A) = 3.

以上，まとめると，
a = 1, b = 1 なら rank(A) = 1,
a = 1, b ≠ 1 なら rank(A) = 2,
a ≠ 1, b = 1 なら rank(A) = 2,
a ≠ 1, b ≠ 1 なら rank(A) = 3.

きっと，web上では行列の形が崩れると思います．ご容赦ください．

お礼

ありがとうございます！
とても助かりました！！

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

((a ,b, 1), (1, b, 1), (1, 1, 1)) ⇒
1, 3 行を交換、2,3行を交換
((1, 1, 1), (a, b, 1), (1, b, 1)) ⇒
１列目を掃きだし
((1, 1, 1), (0, b-a, 1-a), (0, b-1, 0)) ⇒
２、３列を交換
((1, 1, 1), (0, 1-a, b-a), (0, 0, b-1))

これは上三角なので、０でない対角要素数が
ランク。従って

a≠1 かつ b≠1 ⇒ 3
a=1 かつ b≠1 ⇒ 2
a≠1 かつ b=1 ⇒ 2
a=1 かつ b=1 ⇒ 1

お礼

ありがとうございます！
とても助かりました！

回答No.3

noname#152422

「行列の階級」って何？

お礼

すみません。階数の間違いです。

回答No.2

alice_44

第１列と第２列から
それぞれ第３列を引く。
上三角行列になるから、
対角成分に並んでいるものが、固有値。
その中で、0 でないモノの個数が、階数。

お礼

ありがとうございます！