行列の計算

質問

Ａ＝（６　２）　　　　Ｂ＝（１　１）
　　　（２　６）　　　　　　（１　０）

があって、（ＡとＢは２行２列の行列です。表記の仕方はそう思ってください）

D＝A^(-1)+A^(-1)×B×(I -B'×A^(-1)×B)^(-1) ×B'×A^(-1)

を求めよ。という問題があったのですが、普通に計算していけば答えは出ます。ただ、もっと上手な解法があるのかが気になります。あるようであれば、教えていただけると幸いです。

（A^(-1)　は　Ａの逆行列、B'は　Ｂの転置行列、Ｉは単位行列です）

回答No.1

noname#101087

>Ａ＝（６　２）　　　　Ｂ＝（１　１）
>　　 （２　６）　　　　　 　（１　０）
>D＝A^(-1)+A^(-1)×B×(I -B'×A^(-1)×B)^(-1) ×B'×A^(-1)　を求めよ。

A, B ともに対称、B'=B ですね。A の逆を A^ と書きます。
まず原題(長さが縮まって見えるだけです)。
　　D = A^ + A^*B*(I -B*A^*B)^*B*A^

あとは、
　　[補題] 正則行列 M, N について、(M*N)^ = N^*M^ が成立する。
を使うだけです。
　　B*(I -B*A^*B)^*B = (B^-B*A^)^*B = (B^*B^-A^)^ = F
とすれば、
　　D = A^ + A^*F*A^ = A^*(I+F*A^)

手数が減ったといえるかどうか、半信半疑。