線形代数 行列式について

質問

簡単そうな問題ですが、なかなか解けなくて困っています；；

行列A,Bをそれぞれｎ、ｍ次の正方行列とするとき
Xという行列を

X=|OA| で表すとき（つまりｘはｍ＋ｎ次行列でOの部分は要素が０）
|BO|

「det(X) = (-1)^nm * det(A)*det(B)」となることについてです。

基本変形等で出来る問題でしょうか？
それともsgnなどを使ってこまごま解く方法なのでしょうか・・＞＜
よろしくおねがいします。

回答No.2

noname#101087 · ベストアンサー

>行列A,Bをそれぞれｎ、ｍ次の正方行列とするとき Xという行列を
>X=|O A| で表すとき（つまりｘはｍ＋ｎ次行列でOの部分は要素が０）
>　 |B O|
>det(X) = (-1)^nm * det(A)*det(B)」となることについて.....基本変形等で出来る問題でしょうか？

テスト答案なら「基本変形」などで遂行するのがベストなのでしょうかね。

前もって次の行列変形をしておけば迷路に入る危険性が減ります。(I は単位行列。添え字は行列のサイズ)

|0nm　An| |0mn　Im|　 |An　0nm|
|Bm　0mn| |In　0nm| = |0mn　Bm|

右辺の行列式は det(An)*det(Bm) で、左辺第一項の行列式が det(X) ですから、左辺の
|0mn　Im|
| In　0nm|
の行列式がわかれば解決です。これなら「基本変形」などでも簡単にわかりそう.... 。

回答No.1

Tacosan

基本変形でも, 固有値と行列式の関係を使ってもできるはずです. まあ, A と B が主対角線上にくるよう, 適当に列を入れ替えた方が楽 (符号に注意) だけど.