基礎解析 関数の増減について

質問

0以外の実数全体を定義域とする関数をg(x)=7x+(9/x) (x≠0)と定めます。この関数gの値の増減の様子を調べなさい。

更に関数gの極大値・極小値を調べなさい。
また、どの実数において極大値・極小値をとるかも述べなさい。

この問題のグラフは二つできると思うんですが、増減の様子等はどのようになるのでしょうか？
ご教授願います。

回答No.3

WiredLogic · ベストアンサー

#2さんのおっしゃる通り、
昔の普通科高校の「基礎解析」(大体、今の数IIに相当)なら、
確か、分数関数の微分などは、出てこなかったので、
その頃だと「微分・積分」(大体、今の数IIIに相当)の内容になりますが…

工業高専だと、学校ごとに、独自の教科名で、高校のカリキュラムと違う
形で数学やっているそうなので、ひょっとして、高専の学生さんで、
上の「基礎解析」ではない、「基礎解析」という授業・教科書があり
(想像ですが、１年生か２年生くらい？)、その問題、ということですか？

それなら、普通の微分の問題ということでしょうから、
(最後の方に、その想定も外れていて、微分を使っちゃいけない場合の考え方も、念のために、書いておきます)

(7x)' = 7、(9/x)' = -9/x^2 だから、
g'(x) = 7 - 9/x^2 = (7x^2 - 9)/x^2、= (√7*x - 3)(√7*x + 3)/x^2
x≠0では、x^2＞0 だから、
x = ±√7/3 のとき、g'(x)=0、
x＜-√7/3, √7/3＜x で、g'(x)＞0、
-√7/3＜x＜0, 0＜x＜√7/3 で、g'(x)＜0、
(タイプの都合でこんな書き方していますが、本当は増減表の形に)
増減表を書くときに、g(-√7/3), g(√7/3) の値が要るので、
それを求めておく、

左から、x=-√7/3まではずっと右上がりで、そこでてっぺんに届き、
そこから、x=0まではずっと右下がり、そこで一旦切れて、
x=√7/3まではずっと右下がりで、そこで谷底に届き、
そこから右はずっと右上がり、
なので、g(-√7/3)が山のてっぺんで極大値、 g(√7/3)が谷底で極小値、

増減の細かい様子は、y=7x(右上がりの直線)と、
y=9/x (反比例の双曲線)のグラフを一緒に描くと、解りやすく、
y=7xは、x=0の近くでは0に近いので、極大値・極小値の点から、
x=0に近づくほど、合計したg(x)のグラフは、双曲線・y=9/xに近づいていく、
y=9/xは、xの絶対値が大きくなるほど、0に近づくので、
xの絶対値が大きいほど(グラフの右端・左端に近づくほど)、
合計したg(x)は、直線・y=7xに近づいていく、という感じ、

(ここから、念のため、の部分、極大値・極小値という言葉がある以上、違うとは思いますが)

反比例の、y=9/x のグラフの片方は、端へ行くにしたがって、x軸,y軸に近寄っていきます。
この上の段落のように考えると、y=g(x)=7x+9/xは、y軸の代わりにy=7xと、x軸に近寄っていく曲線(実は縦に潰してちょっと回しているので解りにくいが、やはり双曲線)、
ということになります。
これで、増減のおおよそは解るので、極大値・極小値が解れば、グラフの概形が描けます。
x＞0の場合、7xも9/xも正なので、相加相乗平均の大小関係を使って、
y = 7x + 9/x ≧ 2√(7x*(9/x)) = 2√(7*9) = 6√7、よって、これが極小値、
g(-x) = -g(x)なので、y=g(x)は原点対称(微分の場合も、これを先に言うと、話が半分ですみます)、
グラフの、x＞0の部分、第１象限に収まっている奴を、原点回りに、180度回して、
第３象限に収まるところに持って行った奴が、グラフの、x＜0の部分になるので、
極大値は、-6√7、

最初に挙げた「基礎解析」よりさらに前、高校の理系数学が、数I・数IIＢ・数III体制
だった時代に、この形の関数は、数Iの範囲で、こんな形で扱っていました。

お礼

お察しどうり高専2年生をやっております。
非常に丁寧な解説をしていただいて感謝しております。
他の方々も回答ありがとうございました。

回答No.2

noname#157574

基礎解析ではなく微分・積分の内容ですな。

回答No.1

ferien

ｘ＝０のとき関数が定義されていない（0以外の実数全体を定義域とする、x≠0）なので、
グラフは、ｘ＜０の範囲とｘ＞０の範囲に分かれます。
ｘ＜０の範囲で極大値（負の値）、ｘ＞０の範囲で極小値（正の値）を取ります。
後は、ｇ（ｘ）を微分して計算して調べてみて下さい。