微分の増減に関する問題です。

質問

実数全体を定義域とする関数ｇを　ｇ（ｘ）=(e^(2x))(4x^2-2x-5)　と定める。この関数gの増減の様子を調べよ。更に、関数gの極大値、極小値があるならばそれも求めよ。

※　上の式で、　e^(2x) とありますが、eの2x乗ということです。x(e^2)　ではないです。

解答・解説お願いします。

回答No.2

mizutaki5654

g'(x)=4e^(2x)(x-1)(2x+3)と出来ます。
｛(g(x)f(x))' = g'(x)f(x) + g(x)f'(x)を使ってまとめると出来ますね。｝

次にg'(x) = 0 となるxを求めます。簡単ですねｗ
x = -3/2と1です。　　ちなみにe^(2x)＞0だから(x-1)(2x+3)を考えるだけですね。
このg'(x)=0となるxを極値といいます。

そもそもなぜ微分したかというと、微分した関数の値が正（負）なら元の関数のグラフは増加（減少）するからです。微分した関数の値が増加も減少もしない点を極値と言っているのです。

だから増減表を書くと
まず-3/2より小さい値でg'(x)が正の値か負の値かを調べると、-3/2より小さい値、例えば-4/2＝-2を入れるとg'(-2)=12e^(-4)=12/e^4>0だから-3/2より小さいｘのときグラフは増加しますね。

こんな感じで-2/3＜ｘ＜1のとき、1＜ｘのときのg'(x)の正負を調べて表にしてみてください。

どっちが極大値で極小値かとその値はグラフを書いて極値となるｘを元の関数g(x)に入れればわかりますね。

後は分かると思いますので自力で頑張って見てください。

回答No.1

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微分g'(x)を求めて、
g'(x)=0になるところを見つけて、
範囲を分けて、
範囲ごとにg'(x)がプラスなのか、
マイナスなのかを調べて、、、
あとは、g'(x)=0のところの
g(x)を求めればよいのでは？