1/1! +1/2*2! + ..+1/n*n!

質問

lim n->∞(1/1! +1/2*2! + 1/3*3! +1/4*4! + 1/5*5! + ……+1/n*n!)
はどう考えれば良いのでしょうか？

回答No.2

alice_44

∫[0→1](e^x - 1)/x dx の計算は、易しくないけどね。

回答No.1

rnakamra

まず確認。
質問の式は
lim[n→∞]{1/1!+1/(2*2!+...+1/(n*n!)}
のことですよね。質問の書き方だとn!が分子にかかるようにも読めるため確認しておきます。

これは
e^x=lim[n→∞](1+x/1!+x^2/2!+...+x^n/n!)
を応用すれば何とかなりそう。
これを使うには1/nを持ってくることを考えればよい。
f(x)=lim[n→∞]{x/(1*1!)+x^2/(2*2!)+...+x^n/(n*n!)}
とおくと、
f'(x)=lim[n→∞]{1/1!+x/2!+...+x^(n-1)/n!}=(e^x-1)/x

これをx:0→1で積分すると
f(1)=f(0)+∫[0→1](e^x-1)/x dx