a_1 = 1 , a_(n+1)=√(1+a_n) (n=1,2,

質問

a_1 = 1 , a_(n+1)=√(1+a_n) (n=1,2,3・・)に対して、次の問題に答えよ。
(1)　a^2_(n+1) - a^2_n = a_n - a_(n-1)　が成り立つことを示し、数列{a_n}が単調数列であることを示せ
(2)　a_n＜2 となることを示せ
(3)　lim a_n (n→∞）を求めよ
以前に質問して答えていただいたのですが、(3)が、理解できませんでした。（３）から、途中式も詳しく教えてください。よろしくお願いします。

回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

#2 の訂正:
考える x を「x^2 = 1+x」としちゃうと問題があるので, ここは「x = √(1+x) を満たす x」としてください. ついでにそのあとの式も
a_(n+1) - x = √(1+a_n) - √(1+x)
から右辺の有理化という方針にしてください.
でも, 「前にした質問」の URL は書いてくれないのね.... その「前の質問」に答えた人への対応としても, ちゃんと「どの質問であるのか」を明記するのが人として正しいと思います.

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

関数 √(1+x) が全ての x ≧ -1 に対して連続だから, なんだけど, そのやりかたはわりと危険です. 頭の中でやる分にはいいけど, 実際に解答として書くと人によっては突っ込むかもしれない.
a_(n+1)^2 = 1+a_n はわかっているので, x^2 = 1+x を満たす x に対して
a_(n+1)^2 - x^2 = a_n - x
です. ここで左辺の因数分解から
a_(n+1) - x = (a_n - x)/(a_(n+1) + x)
として, 右辺の分母 a_(n+1) + x の絶対値が「適切」な x に対し 1 より真に大であることを示すのが安全.

回答No.1

Tacosan

その「以前に質問した」というやつの URL を書いてもらえませんか?
そして, その答のどこが理解できないのかをきちんと書いてください.

補足

証明すべき式の左辺へ、a[ ] の漸化式を代入すれば、
{ a[n+1] }^2 - { a[n] }^2
= { √(1 + a[n]) }^2 - { √(1 + a[n-1]) }^2
= (1 + a[n]) - (1 + a[n-1])
= a[n] - a[n-1]
となります。

左辺を因数分解して、
(a[n+1] + a[n])(a[n+1] - a[n]) = a[n] - a[n-1] ですが、
漸化式より直ちに、a[ ] > 0 ですから、a[n+1] + a[n] > 0。
従って、a[n+1] - a[n] と a[n] - a[n-1] は同符号です。
a[2] - a[1] = (√2) - 1 > 0 より、帰納的に、
任意の n について a[n+1] - a[n] > 0 であることが示せます。

a[n] < 2 のとき、a[n+1] = √(1+ a[n]) < √3 < 2 ですから、
(2) も、帰納法で示せます。

(1)(2) と 「上に有界な単調増加列は収束する」という定理 (*) より、
lim[n→∞] a[n] は収束します。
よって、漸化式より、lim[n→∞] a[n] = √(1 + lim[n→∞] a[n])。
両辺を二乗して、二次方程式を解けば、a[ ] > 0 より
lim[n→∞] a[n] = (1+√5)/2 と解ります。
・・・上のような解答をいただきました。
「よって～」から、どうして、lim[n→∞] a[n]=√(1+lim[n→∞]a[n]になるのかがわありません。その後は、会の公式に当てはめると良いのだとわかりました。よろしくお願いします。