a_1=1, a_(n+1)=√(1+a_n) (n=1,2,3,,,

質問

a_1=1,　a_(n+1)=√(1+a_n) (n=1,2,3,,,)のときの　lim(n→∞）a_n をもとめよ。
途中し式も詳しく教えてください

回答No.3

muturajcp · ベストアンサー

a_1=1
a_n≧1とすると
(a_{n+1})^2=a_n+1≧2
a_{n+1}≧√2>1

x^2=1+x
x=(1+√5)/2>1
a_{n+1}+x>2
(a_{n+1})^2-x^2=a_n-x
(a_{n+1}-x)(a_{n+1}+x)=a_n-x
|a_{n+1}-x|=|a_n-x|/(a_{n+1}+x)<|a_n-x|/2

|a_2-x|<|a_1-x|/2=(√5-1)/2

|a_{k+1}-x|<(√5-1)/(2^k)とすると
|a_{k+2}-x|<|a_{k+1}-x|/2<(√5-1)/(2^{k+1})

|a_{n+1}-x|<|a_1-x|/(2^n)

ε>0に対して (√5-1)/ε<n0 となる　n0があり
n>n0 ならば　|a_{n+1}-(1+√5)/2|<(√5-1)/(2^n)<(√5-1)/n0<ε
lim_{n→∞}a_n=(1+√5)/2

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

kabaokaba

質問番号：5871829 の問題と同じでしょう．
そこに書いてあることを読んでみましょう．

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

nag0720

a_n→x (n→∞)
とすると、
x=√(1+x)
が成立するので、この方程式を解けばＯＫ

ただし、lim(n→∞)a_n　が収束することを別途証明する必要がありますが・・・

お礼

ありがとうございました。