lim(n→∞)・１/logn・Σ(k=n~２n…

質問

lim(n→∞)・１/logn・Σ(k=n~２n)logk/k
がわかりません。
数学が苦手なので、わかりやすく解説していただけるとたすかります。
分かりにくい表記で申し訳ありませんが、よろしくお願いします。

回答No.1

noname#232123 · ベストアンサー

f(x)=ln(x)/x について、この関数はe<x で単調減少で、lim[x to ∞]f(x)=+0 です。そこで、(y=1/x のような感じで)、3以上の整数kについて、
ln(k+1)/(k+1)<∫[k to (k+1)]f(x)dx<ln(k)/k ... (*)
が成り立ちます。∫[k to (k+1)]f(x)dx＝(1/2)*{(ln(k+1))^2 - (ln(k))^2} ですから、
(*) でk=n から、n+n までを加えて
(1/2)*{(ln(k+1))^2 - (ln(k))^2}+ln(2n)/(2n)<Σ[k=n to 2n]ln(k)/k<(1/2)*{(ln(k+1))^2 - (ln(k))^2}+ln(n)/n.
が成り立ちます。さらにこの式の３辺を ln(n) でわって、n → ∞ とすると、
(左) → ln(2), (右) → ln(2) となるから、
lim[n to ∞]{Σ[k=n to 2n]ln(k)/k}/ln(n)=ln(2)
を得ます。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。