【問題】lim[n→∞]{1/n(1/√2+2/√5+・・・+n/√(

質問

【問題】lim[n→∞]{1/n(1/√2+2/√5+・・・+n/√(n^2+1))}　ただしnは自然数とする。

≪自分の解答≫
lim[n→∞](1/n)*?[k=1~n](k/√(k^2+1))
=lim[n→∞](1/n)*?[k=1~n]{(k/n)/√((k/n)^2+1/n^2)}

というところまで
やってみたのですが…

どうしたらいいでのしょうか??

回答No.3

aquatarku5 · ベストアンサー

No2さまの後段にある区分求積の考え方を使ってみました。

a_n=1/√2+2/√5+・・・+n/√(n^2+1) とおく。

f(x)=x/√(x^2+1)とおくと、f(x)は単調増加関数。
したがって、
∫[(n-1)~n]f(x)dx < n/√(n^2+1) < ∫[n~(n+1)]f(x)dx
上式を1~nまで足し合わせると、
∫[0~n]f(x)dx < a_n < ∫[1~(n+1)]f(x)dx

∫f(x)dx=√(x^2+1)+C なので、
∫[0~n]f(x)dx=√(n^2+1)-1
∫[1~(n+1)]f(x)dx=√((n+1)^2+1)-√2

以上から、
{√(n^2+1)-1}/n < a_n/n < (√((n^2+2n+2)-√2)/n

ゆえにn→∞では、a_n/n→1

お礼

ありがとうございました＾＾ｗ
区分求積分でした！！！

回答No.4

endlessriver

#2です。完全にとちくるってました。
#1さんのとおり、an->aなら(Σan)/n->aという命題でよかったです。

お礼

ありがとうざいました＾＾ｗ

回答No.2

endlessriver

an=n/√(n^2+1)は単調増加で極限は１です。したがって0<an<1。するとn>n0となる任意のnに対しan>0.5となるn0があります。
すると
Σan>Σ[n0,∞]an>Σ0.5→∞

極限が∫[1,∞](x/√(x^2+1))dxに等しいことを使ってもよいかも

お礼

ありがとうございました＾－＾

回答No.1

Tacosan

素直に
「n/√(n^2+1) の n→∞ の極限が 1 だから 1」
じゃいかんの?

お礼

ありがとうございますｗ