数学IＡ 教えてください。

質問

見ていただき、ありがとうございます。
数学についてわからない問題があるので、解き方と答えを教えてください。

２次方程式 x^2-kx+4k+6=0(kは定数)がある。

２次方程式の異なる２つの解α，β(α＜β)がともに整数となるようなkの値をすべて記せ。kの値に対応するα，βの値もあわせて記すこと。

２つの解がともに実数ならkの値は出せるのですが、整数の場合が分かりません。
よろしくお願いします。

回答No.2

151A48 · ベストアンサー

判別式＝k^2 -16k-24>0はもちろんですが，これが（整数）＾２　になっていないといけない。
Ｎ整数として，k^2 -16k-24=N^2
(k-8)^2-88=N^2
(k-8+N)(k-8-N)=88　は定番の変形。
k-8+N, k-8+N 整数ですからＮ＞０として
（k-8+N , k-8-N )=(88,1), (44,2), (22,4), (11,8), (-1,-88), (-2,-22), (-4,-22), (-8,-11)
のいずれか。全部，方程式を解くのにそんなに手間はかかりません。
k=31,21,-15,-5
ｋが分かれば方程式が確定しますから，解はすぐ出ます。

お礼

すごい!
出来ました!
わかりました!
ありがとうございます!!
試験の過去問を解いていたのですが、解説も解答もなくて困っていたんです。
丁寧でとてもわかりやすかったです!
ありがとうございました。

回答No.3

mister_moonlight

もっと簡単にやろうよ。

解と係数から　α＋β＝k、αβ＝4k+6。
よって、αβ＝4(α＋β)+6。これを整数の積の形にもっていく。
(α-4)*(β-4)＝22。　22＝22×1、11×2　。α＜βより　α-4＜β-4　だから　(α-4、β-4)＝(1、22)、(2、11)、(-22、-1)、(-11、-2)の4つ。
ここまで来れば、続きは自分でできるだろう。

お礼

なるほど!!ありがとうございます。
NO.2の方は、IＡの範囲で解ける解き方を教えてくださったんだと思います。
でも、mister_moonlightさんの解き方も、わかりやすくて、私でもすぐ解けました!
丁寧な解説ありがとうございます!!

回答No.1

noname#149500

x=4の時x^2-kx+4k+6=x^2+6>0だからx≠4としkについて方程式を解くと
k=(x^2+6)/(x-4)。
割り算で
k=(xの1次式)+(整数/(xの1次式))の形にする。
αとβが整数なら解と係数の関係からkは整数。
というわけで、x=α、βの時第2項の分子が分母で割り切れるように、αとβを決める。

お礼

ありがとうございます!

k=(x+4)+(22/x-4)まではできました。
kが整数であることも理解しています。
次に、実際にkはどう求めるのか、また、「というわけで～」がよくわかりません；
ものわかりが悪くて申し訳ありません。(>_<)
詳しくお願いします。

また、この解き方はIIＢの範囲が混ざっているので、IＡの範囲で解ける違う解き方があるはずなのですが、教えていただければ嬉しいです。