高校数学

質問

三次方程式 x^3-３x^2-kx+４が、異なる三つの実数解を持つように、定数kの値の範囲を定めよ。

という問題ですが、今まで異なる２つまでしかやっていないので、全くわかりません。

やり方を教えて下さいm(_ _)m

回答No.5

mister_moonlight

間違った解答をしている人がいるので、指摘しておく。

3次方程式：f（x）＝0が、異なる3つの実数解を持つには
(1) f´（x）＝0　が異なる2つの解を持つ　→　判別式＞0
(2) f（x）で（極大値）*（極小値）＜0

(1)と(2)が同時に成立しなければならない。

この方法でも解ける。方針を示しておく。
f´（x）＝0の2つの解をα、βとすると　判別式＞0、and、f（α）*f（β）＜0.　但し、解と係数から、α＋β＝2、αβ＝-k/3.
f（α）*f（β）＜0　を計算するには、次数を下げてその上で　α＋β＝2、αβ＝-k/3　を使うんだが、この方法は計算が面倒だから勧めない。

回答No.4

mister_moonlight

解と係数を使う方法もあるが、orthodoxには微分だね。
但し、少し機転が必要。

x^3-3x^2+4＝kx　と変形する。
y＝x^3-3x^2+4　のグラフと、y＝kx　のグラフが異なる3つの交点を持つと良い。
y＝x^3-3x^2+4　のグラフは書けるだろうし、y＝kx　は原点を通る傾きがkの直線であるから、条件を満たすには？

但し、x≠0から、x^2-3x+（4/x）＝k　として、同じくグラフで考えても良いが、問題は　x^2-3x+（4/x）のグラフを書けるかどうか？
書けるなら、その方法が一番楽だろう。

回答No.3

rnakamra

f(x)=x^3-3x^2-kx+4とおき,y=f(x)のグラフを考えて見ましょう。

3次関数のグラフは(x^3の係数>0とする)は次の二通りが考えられます。

1.全ての区間で単調増加する。
2.x<x0では単調増加、x0<x<x1では単調減少、x1<xでは単調増加

2.のパターンではグラフは一度波を打ったような形になります。

f(x)=0の異なる実数解の数とは、y=f(x)とy=0(x軸)の交点の個数にほかなりません。
y=f(x)のグラフがx軸と3点で交わるためにはグラフの形は1,2のいずれで無ければならないでしょうか。
2.のように一度波打たないと3点で交わることがないことがわかります。
その上で、その波の一番高いところ(極大値)がx軸よりも上で、一番低いところ(極小値)がx軸よりも下でなければならないことがわかります。)

では、この極大・極小となる座標はどのように得るのか?
それは微分係数が"0"となるところ探せばよいことになります。

微分係数が0になるxの値が2個あることが必要、さらにその上でその極値に上記の条件が必要になります。

回答No.2

gejke

与式の微分したものが極大極小をもたなければ3つの実数解になりません。
つまり微分したものが2つの実数解を持てばいいわけです。

さらに極小のときの与式のｙ座標がマイナスでないといけないので
極小のときのx座標を与式に代入し、それがマイナスになるようにします。

その結果がｋの範囲となります。

回答No.1

R_Earl

> 三次方程式 x^3-３x^2-kx+４が、異なる三つの実数解を持つように、定数kの値の範囲を定めよ。

方程式の右辺は何でしょうか？

補足

=0でした。
書き忘れすみません。