対称式の因数分解について

質問

因数分解について、
例えば、
a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b) = -(a-b)(b-c)(c-a)
bc(b-c)+ca(c-a)+ab(a-b) = -(a-b)(b-c)(c-a)
a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2 = (a+b)(b+c)(c-a)
のように完全に対称性が保たれているものがありますが、
この因数分解を容易に（感覚的に？）行う方法・考え方はないでしょうか？

ある１文字について降冪に整理して・・・とテキストにありますが、
その手法でははく対称性または対称群と絡めて捉えることができれば
おもしろいと考えています。

よろしくお願いします。

回答No.2

WiredLogic · ベストアンサー

入試用の数学の参考書なら、次のようなことが、よく書いてあります。

文字を入れ替えても、またく変化しない式を「対称式」、
文字を入れ替えたとき、符号だけが変わり、それ以外は変化しない式を「交代式」という。

つまり、最初と２番目の式は「交代式」、最後の式は「対称式」になります。
当然、「対称式」はどんな変形をしても「対称式」、「交代式」はどんな変形をしても「交代式」になります。

すると、#1さんのおっしゃる通り、最初の式、２番目の式で、何らかの方法で、a-bが因数だということが解れば、b-c,c-aも因数だということは、対称性から明らかなので、(a-b)(b-c)(c-a)が因数になるのは、当然だ、ということになります。

同様に、３番目の式で、a+bが因数だと解れば、(a+b)(b+c)(c+a) も因数。

「何らかの方法」というのは、

高１で、数I勉強中であれば、とりあえず、１つの文字について因数分解しようとしたら、まず、a-bがくくり出せた、というので、十分立派な方法です。
数IIを勉強していれば、因数定理という奴が出てきますが、これを使うのが、手っ取り早い。#1さんが、a=bを代入したら0になるので、a-bを因数に持つ、と書いておられますが、ここが、因数定理を利用した部分です。

さらに手っ取り早い方法もあるのですが、その導入として、

質問者さんが挙げた例は、全部、文字３つの式ですが、
「対称式」には、「基本対称式」という奴があって、文字３つの場合だと、
１次・a+b+c、２次・bc+ca+ab、３次・abc が「基本対称式」で、
文字２つなら、１次・a+b、２次・ab、
「対称式」は、すべて、「基本対称式」だけで表せることが解っています。
例えば、a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - (bc+ca+ab) のような具合です。
ただ、こっちの方は、因数分解に、いつでも役に立つ訳ではありません。

もう１つ、「交代式」には「最簡交代式」というものがあり、
意味は、読んで字のごとく、最も簡単な「交代式」ですが、
文字２つなら、a-b、文字３つなら、(b-c)(c-a)(a-b)がそれです。
で、重要な性質が、「交代式」は、必ず、「最簡交代式」×「対称式」。
これは、因数分解のとき、特に、３文字では、必ず使える強力な性質です。

最初の式は、文字３つの３次式で、文字３つの「最簡交代式」も３次、
２つ目の式も同じですから、どっちの式も、
(定数)×(b-c)(c-a)(a-b) になるのは、明らか、
そこで、両辺の、例えば、展開したときの、ab^2の項の(符号と)係数はどうなるか、を調べて、両辺が等しくなるよう、(定数)の部分(含む・符号)を決めてやる、
こうなると、左辺が文字３つの交代式で、４次、というのが読み取れれば、
いきなり、(定数)×(a+b+c)(b-c)(c-a)(a-b) が出せてしまいます。
(上の性質の「対称式」の部分は、１次なので、a+b+cの定数倍以外考えられないから)

聞いて、いきなり使うのは、難しいかもしれませんが、１文字について整理や、#1さんのやり方を、併用して少し練習していくと、すぐに当たり前に思えてくると思います。

お礼

回答ありがとうございます。

目から鱗なことを教えて頂きました!!
まず、(1)(2)は“交代式”なのですね。
その意味で、私の“対称性が保たれている”という表現は誤りでした。

>「交代式」は、必ず、「最簡交代式」×「対称式」
これは３次の因数分解で有力だということが（時間がかかりましたが）
しだいにわかってきました。

回答中にある数々の性質はどれも魅力的で、
対称群と交代群について、より深く理解したいと感じました。

非常に参考になりました。深く感謝いたします。

回答No.6

htms42

＃４です。
＞a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2 -4abc = (a+b)(b+c)(c+a)
左辺の -4abc が抜けていました。

これでやってみました。
ａ，ｂ，ｃの対称性を保ったままで変形することを試みましたがややこしいです。
一つの文字について整理するという方法の方が格段に簡単に行きます。
（ａ＋ｂ）の因数を持つ（ａ＋ｂ＝０を入れると０になる）ということが分かれば対称性から（ｂ＋ｃ）も（ｃ＋ａ）も因数であるはずだというのは出てきますが最初のａ＋ｂが因数であるというのは直ぐには分かりにくいでしょう。ａ＝ｂでだめならａ＝－ｂで試してみるというのは常道かもしれませんが、少しハードルが高いです。あれこれ迷うのであれば一つの文字で整理するというのが速いのです。

対称性は得られた結果の検算に使うのがいいでしょう。
結果のチェックに対称性を使うというのはパワーのある方法です。
数学に限りません。

物理を習っておられると思いますので１つ例を出しておきます。
質量ｍ、Ｍの２つの物体Ａ，Ｂが速度ｖ、Ｖで運動しているとします。
衝突した後の速度をｖ'、Ｖ'とします。衝突が完全弾性衝突だとした時のｖ'、Ｖ'を求めることができますか。
運動量保存の式　　ｍｖ＋ＭＶ＝ｍｖ'＋ＭＶ'
反発係数の式　　　ｖ＋ｖ'＝Ｖ＋Ｖ'
この式はＡ，Ｂについて対称になっています。
衝突の前後についても対称になっています。
どちらをＡとするかは全くの任意だからです。Ａ，ＢとしてもＢ，Ａとしてもかまいません。
衝突の前後で対称になっているというのはこの場合、ｖ'、Ｖ'で運動していて衝突したとすると衝突後はｖ、Ｖになっているだろうという事です。

この２つの式を解くと
ｖ'＝((ｍ－Ｍ)ｖ＋２ＭＶ)/(ｍ＋Ｍ)
Ｖ'＝？
Ｖ'は計算不要なのです。ｖ'でｍとＭ、ｖとＶを入れ替えればＶ'になります。
でもいきなりこれを使うとｖ'の計算でミスがあれば両方ともが間違いになります。
一応普通の方法で解いてみて検算に使うといいでしょう。
もしｍとＭ、ｖとＶの入れ替えでｖ'からＶ'に移ることができなければどちらかで計算が間違っています。

連立方程式を解くときなどチェックに使うことができます。
根と係数の関係を使うときなどもα、βについて対称であることを意識しているとミスを防ぐことができます。

お礼

ありがとうございます。

〉ａ＝ｂでだめならａ＝－ｂで試してみるというのは・・・少しハードルが高いです。
この高いハードルもいまなら少し乗り越えられそうです。
皆々さまのお蔭です！

物理の例は、
連立方程式が対称であれば、解も対称になる
という、また一段先に進んだ応用にも感じられて
やはり学ぶところが大きいです（鱗Д鱗）

回答No.5

WiredLogic

#2です。

ちょっと、ミスがありました。

＞文字を入れ替えても、またく変化しない式を「対称式」、

の「またく」は、「まったく」の書きそこないで、この次元の奴なら、まだ残っているかも。まぁ、解ってもらえたとは思いますが…

＞例えば、a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - (bc+ca+ab) のような具合です。

は、もうちょっとたちが悪く、右辺は、(a+b+c)^2-2(bc+ca+ab)です。

ついでに、「お礼」への追加説明をしておくと、

＞まず、(1)(2)は“交代式”なのですね。
＞その意味で、私の“対称性が保たれている”という表現は誤りでした。

というのは、必ずしも「誤り」とは言えません。

実際、#1さんも私も、最初の例の「交代式」について、a-bが因数ならば、「対称性」から…、などのように書いていますし。

(広い意味での)「対称性」を持った式をさらに区別するために、「対称式」と「交代式」という言葉があって、その区別のため、「対称式」という言葉の中の「対称」は、あえて狭い意味になっている、と、考えた方がいいのかもしれません。

なので、質問者さんが使ってらっしゃる「対称性が保たれている」は、言葉としては、何も問題ありません。実際使用する局面では、「対称式」と「交代式」の区別がついてないと困りますが、そこは、もうクリアできているでしょうから。

お礼

温かい補足を頂きありがとうございます。

対称性を広義で捉えるか、狭義で捉えるか・・・
結構数学のセンスがとわれる気がします。

同じ式をみて
「対称性が保たれているなぁ」
「いやいや対称じゃないぞ」

後者に気が付いた偉人が交代式の概念を築いたのですから
数学の地層の厚さを感じずにはいられません。
もっとも前者だった私は、地層に埋もれてしまっていますね（笑）

回答No.4

htms42

＃３です。

＞a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2 = (a+b)(b+c)(c+a)
の誤りです。

ａ＝ｂ＝ｃを入れてみて下さい。係数が合いませんね
左辺にａ＋ｂ＝０を入れてみて下さい。０になりませんね。

この式は因数分解できないと思います。
a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2 －３ａｂｃ
であれば(a+b+c)(ab+bc+ca)になりますが。

お礼

とてもご迷惑おかけしました。

a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2 -4abc = (a+b)(b+c)(c+a)
左辺の -4abc が抜けていました。

本当に申し訳ありません。

回答No.3

htms42

三番目の式は誤りですね。

どう解くかという事も大事でしょうが、こういう誤りをしないというために対称式という性質を使うというのも大事なことではないでしょうか。
おかしいというのが直ぐに分かります。
左辺の対称性を右辺が満たしていないのです。
定数項も合いません。

お礼

回答ありがとうございます。

> 三番目の式は誤りですね。
失礼しました（汗
a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2 = (a+b)(b+c)(c+a)
の誤りです。

>こういう誤りをしないというために対称式という性質を使うというのも大事なことではないでしょうか。
より高い視点からの検算にも利用できるのですね。
目から鱗ばかりです（鱗＿鱗）

ありがとうございました。

回答No.1

uuu-chan

因数の目安をつけることができます。

例えば、１つ目の例だったら、左辺にa=bを代入すると０になるので因数としてa-bをもつことがわかります。
さらに対称性から因数としてb-c、c-aをもつことがわかります。

最後に係数の符号を調整するために－をつければ右辺になります。

お礼

回答ありがとうございます。

因数定理を使うと簡単にわかってしますのですね。
最初、因数定理？？と疑問に思ったのですが、
１つの文字をｘと見なして考えれば高校で学んだ因数定理そのものだ
ということに気が付きました！（時間がかかりました(笑)）

とても有力なことを教えて頂きました。
ありがとうございました。