因数分解

質問

こんばんは。
宜しくお願いいたします。

因数分解する問題です。
(1)a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+3abc
が分かりませんでした。
私は
(b+c)a^2+(b^2+c^2+3bc)a+bc(b+c)
まで行ったのですが、次から分かりませんでした。
答えは(a+b+c)(ab+bc+ca)です。
数学が苦手ですが、頑張ります。
どうぞ宜しくお願いいたします。

回答No.4

noname#57316

三行目は、
a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
でした。失礼しました。

お礼

ere_Elbaさん
再度ご丁寧にありがとうございます。

回答No.3

noname#57316

a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+3abc
=a^2(a+b+c)+b^2(c+a+b)+c^2(a+b+c)+3abc-a^3-b^3-c^3
a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
∴a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
=(a+b+c){a^2+b^2+c^2-(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}
=(a+b+c)(ab+bc+ca)

お礼

ere_Elbaさん
ありがとうございました。
参考になります

回答No.2

0lmn0lmn0

>>>
　　　　(b+c)(a^2)+{b^2+c^2+3bc}a+bc(b+c)
　　　=(b+c)(a^2)+[{(b+c)^2}+bc]a+bc(b+c)

　　　　　(b+c) ＼／ bc　　　→　　bc
　　　　　　1　　／＼ (b+c)　 →　{(b+c)^2}
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[{(b+c)^2}+bc]

　　　={(b+c)a+bc}{1*a+(b+c)}
　　　=(a+b+c)(ab+bc+ca)

^^^^^^
(a^2)(b+c)+(b^2)(c+a)+(c^2)(a+b)+3abc
=(a^2)(b+c+a)-(a^3)+(b^2)(c+a+b)-(b^3)+(c^2)(a+b+c)-(c^3)+3abc
={(a^2)(b+c+a)+(b^2)(c+a+b)(c^2)(a+b+c)}+{-(a^3)-(b^3)-(c^3)+3abc}
=(a+b+c){(a^2)+(b^2)+(c^2)}-{(a^3)+(b^3)+(c^3)-3abc}
=(a+b+c){(a^2)+(b^2)+(c^2)}-(a+b+c){(a^2)+(b^2)+(c^2)-ab-bc-ca}
=(a+b+c)(ab+bc+ca)

{(a^3)+(b^3)+(c^3)-3abc}=(a+b+c){(a^2)+(b^2)+(c^2)-ab-bc-ca} は、
覚えている方がbetterです。

^^^^^^
(a^2)(b+c)+(b^2)(c+a)+(c^2)(a+b)+3abc
=(a^2)(b+c)+(b^2)(c+a)+(c^2)(a+b)+abc+abc+abc
={(a^2)(b+c)+abc}+{(b^2)(c+a)+abc}+{(c^2)(a+b)+abc}
=a{ab+ac+bc}+b{bc+ba+ac}+c{ca+cb+ab}
=(a+b+c)(ab+bc+ca)

お礼

0lmn0lmn0さん
ありがとうございました。
ご丁寧に解説してくださいまして感謝しております。

回答No.1

info22

＞(b+c)a^2+(b^2+c^2+3bc)a+bc(b+c)
aの係数=(b^2+c^2+3bc)=(b+c)^2 +bc
ですから
タスキ掛け法を使って下さい。
(b+c)　　bc
　　　×
　1　　　(b+c)
_____________
(b+c)^2 + bc
合いますね。
{(b+c)a+bc}*{1*a+(b+c)}=(ab+bc+ca)(a+b+c)
という風に因数分解できますね。

お礼

info22さん
ありがとうございました
参考になりました。