行列式の因数分解

質問

こんばんは。

行列式の因数分解ですが、とけません。
例えば、
１　a^2 a^3
１　b^2 b^3
１ c^2 c^3
とか左側が全部１になっているような奴は解けるのですが、
問題は、
a bc a^2
b ca b^2
c ab c^2
や
(b＋c)^2 ab ca
ab (c＋a)^2 bc
ca bc (a＋b)^2
のように複雑なやつです。
なにか方針とか説き方のコツとかありますでしょうか？
ぜひ教えていただきたいです。

回答No.2

rabbit_cat · ベストアンサー

ぱっと見で対称性がありそうですので、対称式か交代式かどちらかでしょう。

で、例えば、
１　a^2 a^3
１　b^2 b^3
１ c^2 c^3
とか
a bc a^2
b ca b^2
c ab c^2
だったら、a=bとかb=cとかc=aとかにしてみると０になるっていうのが一目でわかるので、因数 (a-b)(b-c)(c-a)を持つっていうのがわかります。そうしたら、(a-b)(b-c)(c-a)を出すように基本変形しましょう。

(b＋c)^2 ab ca
ab (c＋a)^2 bc
ca bc (a＋b)^2
は、交代式ではなさそうなので対称式だと思って因数の候補を探しましょう。a=0とかb=cとかc=0とかしてみると、０になるので、abcを因数に持ちそうです。というわけで、abcを出すように基本変形しましょう。

お礼

返答ありがとうございます。
もうすこし詳しく教えていただきたいです＾－＾；
＞a=0とかb=cとかc=0とかしてみると、０になるので、abcを因数に持ちそうです。というわけで、abcを出すように基本変形しましょう。

なぜabcを因数に持ちそうだとわかるのでしょうか？

回答No.4

info22

1番目、2番目はa=b,b=c,c=aのどの場合も2つの行が等しくなるので因数定理胃から、行列式が(a-b)(b-c)(c-a)という因数を持つことは直ぐ分かるのは、#2さんも言われている通りですね。

3番目は
a+b=-c,b+c=-a,c+a=-b（いずれもa+b+c=0の関係です）とおいて、各行から順にa,b,c括り出すと、全ての行が同じ(a　b　c)になるので、因数定理から行列式が(a+b+c)という因数を持つことが分かります。
各行が全く同じになるので(a+b+c)^3という因数を持つこと、また各行から、a,b,cが括り出せるので、その積のabcの因数を持つことが予想されます。このことを考えて式を変形すれば、予想通りの結果が出るでしょう。

お礼

参考になります。ありがとうございました。

回答No.3

koko_u_

因数定理って中学生くらい？

回答No.1

koko_u_

>とか左側が全部１になっているような奴は解けるのですが、
どんな風に解いたのですか？補足にどうぞ。
同じ手段が何故他の問題に適用できないのか考察しましょう。

お礼

２，３行目から1行目を引いて2行2列にして、あとは共通因数をくくりたして求まったのですが。
返答ありがとうございました。